Question

В прямоугольном треугольнике ABC (angle C–прямой) высота CH=7, а биссектриса CL делит гипотенузу в отношении 7:1. Найти отношение радиуса вневписанной окружности треугольника CLA, которая касается стороны CL, к радиусу вписанной окружности треугольника ABC.

Answer 1

Нарисуем  треугольник, проведем высоту из вершины прямоуго угла и обозначим ее СН.

У высоты прямоугольного треугольника есть свои собственные свойства. 

Одно из них:

1) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком ВН гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.

Катет СВ=9

Отрезки, на которые высота поделила гипотенузу, равны 2х и 3х (2х:3х=2:3), причем 3х ближе к вершине В ( проекция стороны СВ)

А всего в гипотенузе таких отрезков 5х.

СВ²=ВН·ВА

81=3х·5х

5х²=81

х=0,6√15

ВН=3·0,6√15=1,8√15

НА=2·0,6√15=1,2√15

2)Отношение отрезков гипотенузы,  на которые высота делит ее, равно отношению соответственных катетов. 

9:АС=1,8√15:1,2√15

9:АС=1,5

АС=6 

S АВС=9·6:2=27 ( ?)²

Answer 2

Задача заключается в определении отношения радиуса вневписанной окружности треугольника CLA, которая касается стороны CL, к радиусу вписанной окружности треугольника ABC.

Давайте рассмотрим данную задачу.

Дано:

- Прямоугольный треугольник ABC, где угол C является прямым углом. - Высота CH равна 7. - Биссектриса CL делит гипотенузу в отношении 7:1.

Решение:

1. Найдем длины сторон треугольника ABC. - Из прямоугольного треугольника можно выразить длину гипотенузы AC с использованием теоремы Пифагора: AC = √(AB^2 + BC^2). - Также, используя подобие треугольников, можно найти длину стороны BC: BC = (CH * AB) / HC. - Зная длины сторон AB и BC, можно найти AC.

2. Найдем длину стороны CL. - Поскольку биссектриса CL делит гипотенузу в отношении 7:1, можно выразить длину стороны CL: CL = (7 * AC) / 8.

3. Найдем площадь треугольника ABC. - Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу площади треугольника через длины его сторон: S_ABC = (1/2) * AB * BC.

4. Найдем радиус вписанной окружности треугольника ABC. - Радиус вписанной окружности можно найти, используя формулу радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике: r_in = S_ABC / (AB + BC + AC).

5. Найдем радиус вневписанной окружности треугольника CLA. - Радиус вневписанной окружности можно найти, используя формулу радиуса вневписанной окружности в треугольнике через площадь треугольника и полупериметр: r_out = S_ABC / (s - CL).

6. Найдем отношение радиуса вневписанной окружности треугольника CLA к радиусу вписанной окружности треугольника ABC. - Отношение радиусов можно выразить как: r_out / r_in.

Пример:

Давайте рассмотрим пример, чтобы проиллюстрировать решение задачи.

Предположим, что длины сторон треугольника ABC равны AB = 8 и BC = 6.

1. Найдем длину гипотенузы AC: AC = √(AB^2 + BC^2) = √(8^2 + 6^2) = √(64 + 36) = √100 = 10.

2. Найдем длину стороны CL: CL = (7 * AC) / 8 = (7 * 10) / 8 = 70 / 8 = 8.75.

3. Найдем площадь треугольника ABC: S_ABC = (1/2) * AB * BC = (1/2) * 8 * 6 = 24.

4. Найдем радиус вписанной окружности треугольника ABC: r_in = S_ABC / (AB + BC + AC) = 24 / (8 + 6 + 10) = 24 / 24 = 1.

5. Найдем радиус вневписанной окружности треугольника CLA: r_out = S_ABC / (s - CL) = 24 / (12.375 - 8.75) = 24 / 3.625 ≈ 6.62.

6. Найдем отношение радиуса вневписанной окружности треугольника CLA к радиусу вписанной окружности треугольника ABC: r_out / r_in = 6.62 / 1 ≈ 6.62.

Таким образом, отношение радиуса вневписанной окружности треугольника CLA к радиусу вписанной окружности треугольника ABC составляет примерно 6.62:1.