Question

В равностороннем треугольнике АВС биссектрисы CN и АМ пересекаются в точке Р. Найдите угол МРN. Ответ дайте с развёрнутым решением.

Answer 1

Ответ: 120°
Решение прилагаю

Answer 2

Давайте разберём эту задачу по нахождению угла в равностороннем треугольнике \(ABC\), где биссектрисы \(CN\) и \(AM\) пересекаются в точке \(P\), и мы должны найти угол \(MRN\).

У равностороннего треугольника все стороны равны, а также все углы равны \(60^\circ\). Поскольку треугольник \(ABC\) равносторонний, все его биссектрисы также являются медианами и высотами.

Давайте обозначим угол \(MAB = MAC = x\). Так как треугольник \(ABC\) равносторонний, угол \(CAB = 60^\circ\), и угол \(MAB + MAC + CAB = 180^\circ\) (сумма углов треугольника).

\[x + x + 60^\circ = 180^\circ\] \[2x + 60^\circ = 180^\circ\] \[2x = 120^\circ\] \[x = 60^\circ\]

Теперь у нас есть информация о том, что углы \(MAB\) и \(MAC\) равны \(60^\circ\).

Поскольку \(P\) - точка пересечения биссектрис \(CN\) и \(AM\), \(P\) делит угол \(A\) пополам. Значит, угол \(MPA\) и угол \(NPA\) равны \(30^\circ\).

Из того, что угол \(CAB = 60^\circ\), мы можем также заключить, что угол \(MAN = 60^\circ\) (так как \(MA\) и \(NA\) являются продолжениями \(MP\) и \(NP\)).

Теперь рассмотрим треугольник \(MNP\). У нас есть следующие углы:

- \(MPA = 30^\circ\) - \(NPA = 30^\circ\) - \(MAN = 60^\circ\)

Так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), мы можем найти угол \(MRN\) по формуле:

\[MRN = 180^\circ - MPA - NPA - MAN\] \[MRN = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ - 60^\circ\] \[MRN = 60^\circ\]

Итак, угол \(MRN\) равен \(60^\circ\).