Question

Треугольник ABC задан уравнениями прямых, проходящих через его стороны: 4x-3y-65=0, 7x-24y+55=0 и 3x+4y-5=0. Найти координаты его вершин.

Answer 1

Решение задания на фото

Answer 2

Для нахождения координат вершин треугольника ABC, заданного уравнениями прямых, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений прямых.

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), может быть записано в виде:

(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)

Начнем с первого уравнения прямой:

4x - 3y - 65 = 0

Перепишем его в виде y = (4/3)x - 65/3:

y = (4/3)x - 65/3

Теперь найдем точку пересечения этой прямой со вторым уравнением:

7x - 24y + 55 = 0

Подставим выражение для y из первого уравнения во второе:

7x - 24((4/3)x - 65/3) + 55 = 0

Упростим это уравнение:

7x - 32x + 520/3 + 55 = 0

-25x + 520/3 + 55 = 0

-25x + 520/3 + 165/3 = 0

-25x + 685/3 = 0

-25x = -685/3

x = (685/3) / 25

x = 22.833

Теперь найдем y, подставив значение x в первое уравнение:

y = (4/3)(22.833) - 65/3

y = 30.444 - 21.667

y = 8.777

Таким образом, первая вершина треугольника ABC имеет координаты (22.833, 8.777).

Теперь проделаем аналогичные шаги для второго уравнения прямой:

3x + 4y - 5 = 0

Перепишем его в виде y = (-3/4)x + 5/4:

y = (-3/4)x + 5/4

Найдем точку пересечения этой прямой с первым уравнением:

4x - 3((-3/4)x + 5/4) - 65 = 0

4x + 9/4x - 15/4 - 65 = 0

(16x + 9x - 15 - 260) / 4 = 0

25x - 275 = 0

25x = 275

x = 11

Теперь найдем y, подставив значение x во второе уравнение:

y = (-3/4)(11) + 5/4

y = -8.25 + 1.25

y = -7

Таким образом, вторая вершина треугольника ABC имеет координаты (11, -7).

Наконец, найдем третью вершину, которая является точкой пересечения второго и третьего уравнений прямой.

Подставим уравнение прямой в третье уравнение:

7x - 24((-3/4)x + 5/4) + 55 = 0

7x - 24((-3/4)x + 5/4) + 55 = 0

7x - 72/4x + 120/4 + 55 = 0

(28x - 72x + 120 + 220) / 4 = 0

-44x + 340 = 0

-44x = -340

x = 7.727

Теперь найдем y, подставив значение x во второе уравнение:

y = (-3/4)(7.727) + 5/4

y = -5.795 + 1.25

y = -4.545

Таким образом, третья вершина треугольника ABC имеет координаты (7.727, -4.545).

Итак, координаты вершин треугольника ABC равны:

A(22.833, 8.777) B(11, -7) C(7.727, -4.545)