Question

Высота BD прямоугольного треугольника ABC равна 24 см и отсекает от гипотенузы AC отрезок DC,равный 18 см.Найдите AB и cos A.

Answer 1

Из подобия AD:BD=BD:DC
BD²=AD·DC
24²=AD·18
AD=32

Answer 2

Давайте рассмотрим данную проблему. У нас есть прямоугольный треугольник \(ABC\) с высотой \(BD\), равной 24 см, и отрезком \(DC\), который отсекает гипотенузу \(AC\) и имеет длину 18 см.

Используем теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы \(AC\): \[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Так как \(BD\) является высотой, то площадь треугольника можно выразить двумя способами: \[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC\]

Теперь, найдем \(BC\) через площадь и длину отрезка \(DC\): \[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot BC\] \[24 \cdot AC = 18 \cdot BC\]

Также, используем отношение сторон прямоугольного треугольника: \[BC = \frac{AC}{\cos A}\]

Теперь мы можем составить уравнение для нахождения \(AC\) и \(\cos A\): \[24 \cdot AC = 18 \cdot \left(\frac{AC}{\cos A}\right)\]

Решая это уравнение, найдем значение \(AC\): \[24 \cdot AC = 18 \cdot \frac{AC}{\cos A}\] \[24 \cdot \cos A \cdot AC = 18 \cdot AC\] \[24 \cdot \cos A = 18\] \[\cos A = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}\]

Теперь, найдем длину \(AC\): \[24 \cdot AC = 18 \cdot \frac{AC}{\cos A}\] \[24 \cdot AC = 18 \cdot \frac{AC}{\frac{3}{4}}\] \[24 \cdot AC = 24 \cdot AC\]

Теперь у нас есть значение \(\cos A = \frac{3}{4}\), но нам нужно найти длину \(AB\) и \(\cos A\). Давайте продолжим поиск.

Теперь, используя соотношение между \(AC\), \(AB\) и \(BC\): \[AC^2 = AB^2 + BC^2\] \[AC^2 = AB^2 + \left(\frac{AC}{\cos A}\right)^2\]

Подставим известные значения: \[24^2 = AB^2 + \left(\frac{24}{\frac{3}{4}}\right)^2\] \[576 = AB^2 + \left(32 \cdot 4\right)^2\] \[576 = AB^2 + 256\] \[AB^2 = 576 - 256\] \[AB^2 = 320\] \[AB = \sqrt{320}\] \[AB = 4\sqrt{20}\]

Итак, \(AB = 4\sqrt{20}\) см и \(\cos A = \frac{3}{4}\).