Question

Высота AA медиана BB и биссектриса CC треугольника ABC пересекаются В точке K Известно, что AK = BK Докажите, что отрезок CК имеет ту же длину

Answer 1

АА1 и СС1, ВВ1 пересекаются в одной точке, значит они равны.
Тогда АК=ВК=СК

Answer 2

Для доказательства того, что отрезок CK имеет ту же длину, что и отрезки AK и BK, воспользуемся свойствами медианы и биссектрисы треугольника.

По свойству медианы треугольника, медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противоположную сторону пополам. Таким образом, AK = BK.

По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса угла делит противоположную сторону пропорционально остальным двум сторонам треугольника. То есть, CK/KB = AC/AB.

Учитывая, что AK = BK, получаем CK/AK = AC/AB.

Теперь, заметим, что отношение CK/AK равно отношению площадей треугольников CKC' и AKC', где C' - точка пересечения биссектрисы CC' с стороной AB. А отношение AC/AB равно отношению площадей треугольников ACC' и ABC', где C' - точка пересечения биссектрисы CC' с стороной AB.

Поскольку треугольники CKC' и ACC' имеют общую высоту, и их основания находятся на одной и той же стороне треугольника, то отношение их площадей равно отношению длин отрезков CK и AK.

Аналогично, треугольники AKC' и ABC' имеют общую высоту, и их основания находятся на одной и той же стороне треугольника, поэтому отношение их площадей равно отношению длин отрезков AK и AB.

Таким образом, мы получили, что отношение длин отрезков CK и AK равно отношению длин отрезков AC и AB.

Учитывая, что AK = BK, получаем CK = AC, что и требовалось доказать.