Question

Диагональное сечение правильной четырехугольной пирамиды является прямоугольным треугольником, площадь которого равна 9 см2. Найдите объем пирамиды. Ответ запишите числом без наименования.

Answer 1

MABCD - правильная четырёхугольная пирамида  ⇒ 
ABCD - квадрат   и     MA = MB = MC = MD
Диагональное сечение  MAC - прямоугольный треугольник ⇒
∠AMC = 90°.  SΔ = 9 см²
ΔMAC прямоугольный равнобедренный  ⇒
MO = OC = OA  ⇒  MO = 1/2 AC
$S_{MAC} = \frac{AC*MO}{2} =9$
AC*MO = 18;    AC* 1/2 AC = 18
AC² = 36   ⇒    AC = 6 см;    MO = 6/2 = 3 см

Основание пирамиды - квадрат, площадь квадрата через равные диагонали
$S_o = S_{ABCD}= \frac{AC*BD}{2} = \frac{6*6}{2} =18$
Объём пирамиды
$V = \frac{1}{3} MO*S_o = \frac{1}{3} *3*18 = 18$ см³

Ответ: объём пирамиды равен 18 см³

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Поскольку диагональное сечение пирамиды является прямоугольным треугольником, то его площадь равна 9 см².

S = 9 см².

Также известно, что пирамида является правильной, то есть все ее боковые грани равны и все углы между боковыми гранями равны.

Таким образом, диагональное сечение пирамиды является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

S = (1/2) * a * b,

где a и b - катеты треугольника.

Так как треугольник равнобедренный, то a = b.

S = (1/2) * a * a = (1/2) * a².

Из условия задачи известно, что S = 9 см², поэтому:

(1/2) * a² = 9 см².

Умножим обе части уравнения на 2:

a² = 18 см².

Найдем значение a:

a = √(18 см²) = √(9 * 2) см = 3√2 см.

Теперь найдем высоту пирамиды.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника:

h² = a² + b²,

где h - высота пирамиды, a и b - катеты треугольника.

Так как треугольник равнобедренный, то a = b.

h² = 2 * a².

h = √(2 * a²) = √(2 * (3√2 см)²) = √(2 * 9 * 2 см²) = √(36 см²) = 6 см.

Теперь, когда известны площадь основания и высота пирамиды, можно найти ее объем:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * 9 см² * 6 см = 18 см³.

Ответ: объем пирамиды равен 18 см³.