Question

Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC.

Answer 1

Биссектриса делит сторону, на которую пришла, в том же отношении, что и две другие стороны треугольника. По условию (прочтите внимательно!) , АВ: АМ = 2:3, поэтому КМ=3/2 ВК. Стало быть, площадь треугольника АКМ = 2/5 площади треугольника АВМ. А поскольку медиана делит треугольник на два равновеликих, то площадь треугольника АКМ - 1/10 площади АВС. 
Ровно тому же равна и площадь треугольника КМС (попробуйте догадаться, почему именно) . 
Треугольник КСР (второй кусок нужногонам четырёхугольника) - это часть треугольника ВКС. Причём отношение площадей ВКР и КРС известно, по тому же свойству биссектрисы. С другой стороны, площадь КСР - это площадь ВМС минус площадь КМС, а она нам уже известна. Так что в итоге можно сообразить, каковая площадь КСР. 

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторые свойства треугольников и медиан. Давайте рассмотрим каждую часть задачи по порядку.

1. Длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Обозначим длины сторон треугольника ABC следующим образом: AB = x AC = 3x BC = y (неизвестная сторона)

2. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K. По определению, медиана треугольника делит противоположную сторону пополам, поэтому мы можем сказать, что BM = MC.

3. Найдите отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC. Для решения этой части задачи нам понадобится формула для площади треугольника и площади четырехугольника.

Площадь треугольника ABC: S(ABC) = (1/2) * AB * AC * sin(angle BAC)

Площадь четырехугольника KPCM: S(KPCM) = S(ABC) - S(AKP) - S(BKC)

Площадь треугольника AKP: S(AKP) = (1/2) * AP * KP * sin(angle AKP)

Площадь треугольника BKC: S(BKC) = (1/2) * BC * KC * sin(angle BKC)

Теперь нам нужно выразить все значения через известные данные.

4. Найдите длину медианы BM. Так как медиана BM делит сторону AC пополам, то MC = AC/2 = 3x/2. Также, учитывая, что треугольник ABC - прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора: BC^2 = AB^2 + AC^2 y^2 = x^2 + (3x)^2 y^2 = x^2 + 9x^2 y^2 = 10x^2 y = √(10x^2) = √10*x

Мы также знаем, что BM = MC, поэтому: BM = MC = 3x/2

5. Найдите длину биссектрисы AP. Для этого нам понадобится использовать теорему углового биссектрисы, которая говорит нам, что биссектриса делит противоположную сторону пропорционально длинам смежных сторон. Используя это, мы можем записать следующее соотношение: AP/AB = AC/BC AP/x = 3x/√10*x AP = 3√10

6. Найдите отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC. Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем подставить их в формулы для площадей, чтобы найти отношение: S(ABC) = (1/2) * x * 3x * sin(angle BAC) S(KPCM) = S(ABC) - S(AKP) - S(BKC)

Для удобства вычислений, давайте предположим, что угол BAC равен 90 градусам. Это значит, что мы имеем дело с прямоугольным треугольником ABC. В этом случае, sin(angle BAC) = 1, и мы можем упростить формулу для площади треугольника ABC: S(ABC) = (1/2) * x * 3x * 1 = (3/2) * x^2

Теперь давайте выразим площади треугольников AKP и BKC через известные значения: S(AKP) = (1/2) * AP * KP * sin(angle AKP) S(AKP) = (1/2) * 3√10 * KP * sin(angle AKP)

S(BKC) = (1/2) * BC * KC * sin(angle BKC) S(BKC) = (1/2) * √10*x * KC * sin(angle BKC)

Так как BM = MC, KP = KC. Теперь мы можем выразить площадь четырехугольника KPCM через известные значения: S(KPCM) = S(ABC) - S(AKP) - S(BKC) S(KPCM) = (3/2) * x^2 - (1/2) * 3√10 * KP * sin(angle AKP) - (1/2) * √10*x * KC * sin(angle BKC)

Отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC: Отношение = S(KPCM) / S(ABC)

Подставляем выражение для S(KPCM) и S(ABC): Отношение = ((3/2) * x^2 - (1/2) * 3√10 * KP * sin(angle AKP) - (1/2) * √10*x * KC * sin(angle BKC)) / ((3/2) * x^2)

Теперь мы можем вычислить это отношение, зная значения x, KP и KC.