Question

В треугольнике MNP точка К лежит на стороне MN ,причем угол NKP острый.Докажите что КР меньше МР.

Answer 1

Т. к. угол NKP острый, то угол МКР- тупой, значит в тр-нике МКР два других угла - острые. Против большего угла лежит большая сторона, т. е. КР меньше МР

Answer 2

Для начала, мы можем использовать теорему косинусов, чтобы связать стороны треугольника с углами. Таким образом, мы можем использовать связь между углами и сторонами для доказательства того, что KR < MR.

Теорема косинусов

Теорема косинусов утверждает, что для любого треугольника с сторонами a, b и c и углом C между сторонами a и b выполняется следующее равенство: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

Доказательство

1. Рассмотрим треугольник MKN, где N — точка на стороне MK, а K — точка на стороне MN. 2. Из условия задачи у нас есть угол NKP, который является острым углом. 3. Применим теорему косинусов к треугольнику MKN: - Пусть KN = x, NM = y, MK = z, а угол NKM = α. - Из теоремы косинусов получаем: y^2 = x^2 + z^2 - 2xz * cos(α) 4. Теперь рассмотрим треугольник MRP, где P — точка на стороне MR. 5. Применим теорему косинусов к треугольнику MRP: - Пусть RP = p, PM = q, MR = r, а угол MRP = β. - Из теоремы косинусов получаем: q^2 = p^2 + r^2 - 2pr * cos(β) 6. Так как угол NKP острый, то cos(α) > 0, следовательно, из уравнения для треугольника MKN получаем, что y^2 < x^2 + z^2, то есть KN < MN. 7. Так как угол MRP острый, то cos(β) > 0, следовательно, из уравнения для треугольника MRP получаем, что q^2 < p^2 + r^2, то есть PM < MR. 8. Таким образом, мы доказали, что KN < MN и PM < MR, откуда следует, что KR < MR.

Таким образом, мы доказали, что KR < MR в треугольнике MNP, где точка K лежит на стороне MN, а угол NKP острый.