Question

В тетраэдре DABC отрезки DE и CF — медианы грани BDC, DE пересекает CF в точке О. Выразите вектор (AD) ⃗ через векторы (АО) ⃗, (АС ) ⃗и (АВ) ⃗.

Answer 1

AD = AE + ED = AE + 3·EO = AE + 3·(AO - AE) = 3·AO - 2·AE = 3·AO - (AB + AC)

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами медиан в тетраэдре.

Свойства медиан в тетраэдре:

1. Медианы грани делятся пересечением на две равные части. 2. Точка пересечения медиан грани является точкой пересечения медиан всех четырех граней тетраэдра.

Из данного свойства следует, что точка пересечения медиан грани BDC является точкой пересечения медиан всех четырех граней тетраэдра DABC. Таким образом, точка О является точкой пересечения медиан всех граней тетраэдра DABC.

Выражение вектора (AD)⃗ через векторы (АО)⃗, (АС)⃗ и (АВ)⃗:

Для начала, выразим вектор (DE)⃗ через векторы (АО)⃗ и (АС)⃗. По свойству медианы, вектор (DE)⃗ является половиной вектора (АС)⃗:

(DE)⃗ = 1/2 * (АС)⃗

Теперь, выразим вектор (CF)⃗ через векторы (АО)⃗ и (АВ)⃗. Из свойства медианы грани BDC, вектор (CF)⃗ также является половиной вектора (АВ)⃗:

(CF)⃗ = 1/2 * (АВ)⃗

Теперь, выразим вектор (AD)⃗ через векторы (DE)⃗, (CF)⃗ и вектор (АО)⃗. Вектор (AD)⃗ является суммой векторов (DE)⃗, (CF)⃗ и (АО)⃗:

(AD)⃗ = (DE)⃗ + (CF)⃗ + (АО)⃗

Подставим значения векторов (DE)⃗ и (CF)⃗:

(AD)⃗ = 1/2 * (АС)⃗ + 1/2 * (АВ)⃗ + (АО)⃗

Таким образом, вектор (AD)⃗ выражается через векторы (АО)⃗, (АС)⃗ и (АВ)⃗ следующим образом:

(AD)⃗ = 1/2 * (АС)⃗ + 1/2 * (АВ)⃗ + (АО)⃗