Question

В окружности проведены два взаимно перпендикулярных диаметра AB и CD. Точки F и K лежат на диаметре AB и на равном расстоянии от прямой CD. Докажите, что отрезки CF и DK равны.

Answer 1

В окр-ти провести 2 перпендикулярных диаметра АВ и СД (диаметр = двум радиусам и проходит через цент окр-ти) На диаметре АБ в разные стороны от диаметра СД но на одикаковом расстоянии отметить точки F и K Соединить точки С и F и точки К и Д. Рассмотреть треугольники СFО и ОКД  Они равны по 2 признаку (FО=ОК по условию, СО = ОД = как радиусы и угол СОF= углу ДОК как вертикальные) Отсюда СF =ДК

Answer 2

Для доказательства равенства отрезков CF и DK воспользуемся свойствами перпендикуляров и равенства диаметров окружности.

Поскольку CF и DK являются высотами треугольника CDK, то для доказательства равенства этих отрезков необходимо и достаточно показать, что треугольники CFK и DFK являются равнобедренными.

Рассмотрим треугольник CFK. Поскольку F и K лежат на диаметре AB и находятся на равном расстоянии от прямой CD, то отрезки CF и DK равны между собой (по свойству равенства диаметров). Также, поскольку AB является диаметром окружности, угол CFA является прямым углом (так как CD перпендикулярно AB). Таким образом, треугольник CFK является прямоугольным.

Теперь рассмотрим треугольник DFK. Поскольку F и K лежат на диаметре AB и находятся на равном расстоянии от прямой CD, то отрезки CF и DK равны между собой (по свойству равенства диаметров). Также, поскольку AB является диаметром окружности, угол DKA является прямым углом (так как CD перпендикулярно AB). Таким образом, треугольник DFK также является прямоугольным.

Таким образом, мы показали, что треугольники CFK и DFK являются равнобедренными, причем отрезки CF и DK являются боковыми сторонами равнобедренных треугольников. Следовательно, отрезки CF и DK равны между собой.