Question

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите отношение BK:AK, если площадь треугольника KBM вдвое больше площади трапеции AKMC С подробным решением, пожалуйста

Answer 1

Если S(AKMC)=S, то S(KBM)=2S, то S(ABC)=S(AKMC)+S(KBM)=S+2S=3S.
Треугольники АВС и КВМ подобны по двум парам соответственным углам при параллельных прямых АС и КМ. тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
$\frac{S(ABC)}{S(KBM)} = \frac{3S}{2S} = \frac{3}{2} =k^2\Rightarrow k= \sqrt{\frac{3}{2} }$
Находим отношение соответственных сторон треугольников АВС и КВМ, равное коэффициенту подобия:
$\frac{BA}{BK} = \sqrt{\frac{3}{2} } \\\ \frac{BK+AK}{BK} = \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } \\\ \sqrt{2} BK+ \sqrt{2} AK= \sqrt{3} BK \\\ \sqrt{3} BK- \sqrt{2} BK= \sqrt{2} AK \\\ ( \sqrt{3} - \sqrt{2} )BK= \sqrt{2} AK \\\ \frac{BK}{AK} = \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3}- \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2}( \sqrt{3}+ \sqrt{2}) }{ (\sqrt{3}- \sqrt{2})( \sqrt{3}+ \sqrt{2}) } =\sqrt{6}+ \sqrt{4} =2+\sqrt{6}$
Ответ: $2+\sqrt{6}$

Answer 2

Если прямая КМ параллельна прямой АС,то <BKM=<BAC и <BMK=<BCA как соответственные углы при параллельных прямых КМ и АС и секущих АВ и ВС.Отсюда по первому признаку подобия треугольников следует,что ΔАВС подобен ΔКВМ.По теореме об отношении площадей подобных треугольников S(ABC)/S(KBM)=k²,где к-коэффициент подобия.
Пусть S(AKMC)=x,тогда S(KBM)=2x⇒S(ABC)=3x
S(ABC)/S(KBM)=3x/2x=3/2⇒k²=3/2⇒k=√(3/2)=√6/2
Если треугольники подобны,то их стороны пропорциональны⇒АВ/ВК=к,т.е. АВ/ВК=√6/2
АВ=ВК√6/2 и АК=АВ-ВК=ВК√6/2 -ВК=ВК(√6-2)/2
ВК/АК=ВК : ВК(√6-2)/2=2ВК/ВК(√6-2)=2*(√6+2)/(√6-2)(√6+2)=2(√6+2)/(6-4)=√6+2

Answer 3

Решение:

Для начала, обозначим точку пересечения прямой, параллельной стороне AC треугольника ABC, с стороной AB как K, а с стороной BC как M. Также обозначим точку пересечения прямой с продолжением стороны AB как L и с продолжением стороны BC как N.

Теперь, обозначим длины отрезков следующим образом: - \( AK = x \) - длина отрезка AK - \( BK = y \) - длина отрезка BK - \( BM = z \) - длина отрезка BM - \( MC = t \) - длина отрезка MC

Также обозначим площади фигур: - \( S_{KBM} \) - площадь треугольника KBM - \( S_{AKMC} \) - площадь трапеции AKMC

Первый шаг: Найдем отношение \( \frac{BK}{AK} \)

Для начала, заметим, что треугольник KBM и трапеция AKMC имеют общую высоту, которая равна расстоянию между параллельными прямыми. Пусть данная высота равна \( h \).

Теперь, найдем отношение \( \frac{BK}{AK} \). Поскольку треугольник KBM вдвое больше трапеции AKMC, то:

\[ S_{KBM} = 2 \cdot S_{AKMC} \]

Второй шаг: Найдем площади фигур

Для этого, воспользуемся формулами для площадей треугольника и трапеции:

\[ S_{KBM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h \] \[ S_{AKMC} = \frac{1}{2} \cdot (AK + MC) \cdot h \]

Третий шаг: Найдем отношение \( \frac{BK}{AK} \)

Используя найденные значения площадей, можно составить уравнение:

\[ \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (AK + MC) \cdot h \]

\[ BM = 2 \cdot (AK + MC) \]

Четвертый шаг: Найдем отношение \( \frac{BK}{AK} \)

Теперь, воспользуемся подобием треугольников KBM и AKL:

\[ \frac{BK}{AK} = \frac{BM}{AL} \]

Так как треугольники KBM и AKL подобны, то:

\[ \frac{BK}{AK} = \frac{BM}{(AB - AK)} \]

Подставим найденное значение \( BM = 2 \cdot (AK + MC) \):

\[ \frac{BK}{AK} = \frac{2 \cdot (AK + MC)}{(AB - AK)} \]

Пятым шаг: Найдем отношение \( \frac{BK}{AK} \)

Заметим, что \( MC = BC - BM = BC - 2 \cdot (AK + MC) \).

Теперь, мы можем решить это уравнение относительно \( \frac{BK}{AK} \) и найти его значение.

Подставим \( MC = BC - 2 \cdot (AK + MC) \) в уравнение \( \frac{BK}{AK} = \frac{2 \cdot (AK + MC)}{(AB - AK)} \) и решим полученное уравнение.