Question

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BCD, если она касается стороны BC в точке P и известно , что BD=BC= 15 см, CP=12 см

Answer 1

Треугольник ДВС равнобедренный. Значит, биссектрисы углов  при основании  треугольника делят его на равные доли. Центр окружности - точка О. Точка касания окружности в основании треугольника - Н. Треугольник ОНС и треугольник ОРС равны. Оба прямоугольные и гипотенуза общая, катеты равны радиусу вписанной окружности. Отсюда РС=НС=12 см. Но треугольник ДОС равнобедреный. У него углы при основании равны, значит ДН=НС=12 см.  Т.е. ОН делит ДС пополам и является перпендикуляром, а ВО - биссектриса угла В. Смежные углы ВОР, РОС и СОН в сумме дают 180 градусов. Значит ВН - прямая линия! Она медиана, высота и биссектриса при вершине угла В равнобедренного треугольника. Находи её по теореме Пифагора. Она равна  корень из (225-144) = 9 см. А теперь из треугольника ВОР ищем ОР.  (9-х)^2 - x^2=9  Отсюда

81-18х+x^2-x^2=9   18x=72    x=4.  Радиус окружности, вписанной в треугольник ВСД равен 4 см.

Answer 2

Отрезки касательных из одной точки к окружности равны. Поэтому сторона CD(основание) = 24см (треугольник BCD - равнобедренный, значит отрезки сторон от точек касания вписанной окружности до вершин C и D - равны по12см). тогда по формуле радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник:

r = b/2√[(2a-b)/(2a+b)], где a - боковая сторона, b - основание)

имеем: 12√6/54 = 12/3 = 4см.

 

или по более общей формуле радиуса окружности вписанной в треугольник через полупериметр:

r = √(p-a)(p-b)(p-c)/p = √12*12*3/27 = 4см (р - полупериметр (15+15+24):2 = 27)

Answer 3

Для начала, нам нужно найти площадь треугольника BCD. Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины его сторон.

Треугольник BCD является равнобедренным, так как BD = BC. Значит, у него две равные стороны. Полупериметр треугольника BCD будет равен:

p = (BD + BC + CD) / 2 = (15 + 15 + CD) / 2 = (30 + CD) / 2 = 15 + CD / 2

Теперь нам нужно найти длину стороны CD. Мы знаем, что CP = 12 см. Так как треугольник BCD является равнобедренным, то у него угол BCD равен углу BDC. Значит, треугольник BCD является прямоугольным. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину стороны CD:

BD^2 = BC^2 + CD^2 15^2 = 15^2 + CD^2 225 = 225 + CD^2 CD^2 = 0 CD = 0

Таким образом, сторона CD равна 0 см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника BCD:

S = sqrt(p * (p - BC) * (p - BC) * (p - CD)) S = sqrt((15 + CD / 2) * (15 + CD / 2 - 15) * (15 + CD / 2 - 15) * (15 + CD / 2 - 0)) S = sqrt((15 + 0 / 2) * (15 + 0 / 2 - 15) * (15 + 0 / 2 - 15) * (15 + 0 / 2 - 0)) S = sqrt(15 * 0 * 0 * 15) S = sqrt(0)

Таким образом, площадь треугольника BCD равна 0.

Поскольку площадь треугольника равна 0, это означает, что треугольник вырожденный и не существует вписанной окружности.

Следовательно, нет возможности найти радиус вписанной окружности, так как треугольник BCD не существует.