Question

Вершина C правильного треугольника ABC проектируется в центр правильного треугольника ABD. Найдите угол между плоскостями ABC и ABD.

Answer 1

Пусть проекция C на (ABD) - точка O. В треугольнике ABC проведем высоту CH, и в треугольнике ABD проведем высоту DH. DH проходит через O, и H - середина AB (треугольники ABC, ABD правильные). Угол CHO - линейный дли двугранного угла CABD, так как CH перпендикулярно AB и OH перпендикулярно AB. Значит, достаточно найти этот угол. CH - высота правильного треугольника, а OH - треть высоты правильного треугольника со стороной такой же длины. Тогда cosOHC=OH/CH=1/3, а угол OCH равен arccos1/3.

Answer 2

Для начала, обратимся к свойствам правильного треугольника. У него все стороны равны, а все углы равны 60 градусов. Поэтому угол между плоскостями ABC и ABD будет равен углу между прямыми AC и AD, так как эти прямые лежат в соответствующих плоскостях.

Поскольку точка C является вершиной правильного треугольника ABC, угол ACB равен 60 градусов. Точка D является центром правильного треугольника ABD, поэтому угол ADB также равен 60 градусов.

Таким образом, угол между плоскостями ABC и ABD равен углу ACB + углу ADB = 60 градусов + 60 градусов = 120 градусов.