Question

Докажите, что сумма квадратов двух медиан прямоугольного треугольника, проведенных к катетам, равна 5/4 квадрата гипотенузы.

Answer 1

Пусть АВС - исходный треугольник, С - вершина прямого угла, а АЕ и ВD - медианы.

Пусть  ВС = а, АС = b.  Тогда по теореме Пифагора

ВD² = BC² + CD² = a² + (b/2)² = a² + b²/4

AE² = AC² + CE² = b² + (a/2)² = b² + a²/4

Следовательно 

BD² + CE² = a² + b²/4 + b² + a²/4 = 5/4 * (a² + b²) = 5/4 * AB²

Answer 2

ΔАВС, <С=90⁰,АС=в, ВС=а, АВ=с . АМ и ВК медианы , а значит делят стороны пополам.

ΔАСМ ,<С=90⁰,СМ=½а,АС=в, пот. Пифагора АМ²=МС²+АС²=¼а²+в².

Аналогично     ВК²=ВС²+СК²=а²+¼в²,тогда

АМ²+ВК²=¼а²+в²+а²+¼в²=1¼а²+1¼в²=5/ 4а²+5/ 4в²=5 /4(а²+в²)=5/ 4(ВС² +АС²)=

=5/ 4АВ², что и требовалось доказать. 

Answer 3

Доказательство:

Для начала, давайте определим, что такое медианы прямоугольного треугольника и как они связаны с его сторонами.

Медианы прямоугольного треугольника - это линии, которые соединяют вершины прямого угла с серединами противоположных сторон треугольника. Таким образом, у прямоугольного треугольника есть три медианы: медиана, проведенная к гипотенузе, и две медианы, проведенные к катетам.

Давайте обозначим стороны прямоугольного треугольника следующим образом: - Пусть a и b будут катетами треугольника. - Пусть c будет гипотенузой треугольника.

Теперь найдем длины медиан прямоугольного треугольника.

1. Медиана, проведенная к гипотенузе: Длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. То есть, медиана, проведенная к гипотенузе, равна c/2.

2. Медианы, проведенные к катетам: Длина каждой медианы, проведенной к катету, равна половине длины этого катета. То есть, каждая медиана, проведенная к катету, равна a/2 и b/2 соответственно.

Теперь, чтобы доказать, что сумма квадратов двух медиан, проведенных к катетам, равна 5/4 квадрата гипотенузы, нам нужно выразить все эти длины через a, b и c и сравнить их.

Сумма квадратов двух медиан, проведенных к катетам: (a/2)^2 + (b/2)^2 = (1/4)(a^2 + b^2)

Квадрат гипотенузы: (c/2)^2 = (1/4)c^2

Теперь давайте выразим 5/4 квадрата гипотенузы: (5/4)(c^2) = (5/4)c^2

Мы видим, что сумма квадратов двух медиан, проведенных к катетам, равна 5/4 квадрата гипотенузы, так как оба выражения равны (1/4)(a^2 + b^2).

Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов двух медиан, проведенных к катетам прямоугольного треугольника, равна 5/4 квадрата гипотенузы.

Ответ: Сумма квадратов двух медиан, проведенных к катетам прямоугольного треугольника, равна 5/4 квадрата гипотенузы.