Question

Помогите пожалуйста найти угол между диагональю грани куба BA1 и скрещивающейся диагональю куба AС1 , если ребро куба равно 7 см.спасибо!

Answer 1

Во первых, этот угол от величины ребра не зависит. 

Угол этот равен 90°.

Это можно доказать кучей способов. 

1)

Если взять куб ABCDA1B1C1D1, то фигура с вершинами A1BC1D - правильный тетраэдр. Поэтому проекция точки С1 на плоскость A1BD - это центр правильного треугольника A1BD - пусть это точка Q1. 

У пирамиды AA1BD основание A1BD - правильный треугольник, и все боковые ребра равны (это ребра куба). Поэтому проекция точки A на плоскость A1BD - это центр правильного треугольника A1BD - точка Q1. Поскольку есть только одна прямая, перпендикулярная плоскости A1BD и проходящая через заданную точку  Q1 - центр треугольника A1BD, то AC1 перпендикулярно плоскости A1BD, а - значит - и любой прямой в этой плоскости, в том числе A1B.

2)

пусть вектора AD = i; AB = j; AA1 = k; - три ортогональных вектора, равных по величине.

Тогда А1B = j - k; AC1 = i + j + k; 

(или, в координатном представлении

A1B = (0,1,-1); AC1 = (1,1,1);

длина ребра принята за 1)

Легко видеть, что скалярное произведение этих векторов равно 0  + 1  - 1 = 0,

то есть они перпендикулярны.

3)

способ для [...]

Если продлить DC за вершину С на расстояние, равное ребру куба, и соединить полученную точку Е с точкой С1, то очевидно, что C1E II D1C, а D1C II A1В, поэтому искомый угол - это угол АС1Е в треугольнике AC1E, стороны которого равны (если ребро равно 1, если ребро равно 7, то все длины просто в 7 раз больше)

A1C = √(1^2 + 1^2 +1^2) = √3; С1E = A1B = √2; AE = √(1^2 + 2^2) = √5; 

Легко видеть, что A1C^2 + C1E^2 = AE^2; то есть это прямоугольный треугольник, и искомый угол - прямой.

 

 

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте вначале разберемся в том, какие величины имеются в нашем распоряжении.

У нас есть куб с ребром длиной 7 см. Давайте обозначим вершины этого куба следующим образом: - Вершина B находится в нижнем левом заднем углу куба. - Вершина A1 находится в верхнем левом заднем углу куба. - Вершина C1 находится в нижнем левом переднем углу куба.

Теперь, чтобы найти угол между диагональю грани BA1 и скрещивающейся диагональю куба AC1, нам понадобится использовать геометрические свойства куба.

Угол между диагональю грани и скрещивающейся диагональю

Для начала, давайте найдем длину диагонали грани BA1. По теореме Пифагора, длина диагонали квадрата равна квадратному корню из суммы квадратов его сторон. В нашем случае, это диагональ грани BA1. Так как каждая сторона куба имеет длину 7 см, диагональ грани BA1 будет иметь длину:

Длина диагонали грани BA1 = √(7^2 + 7^2) = √98 ≈ 9.899 см

Теперь, чтобы найти угол между диагональю грани BA1 и скрещивающейся диагональю куба AC1, мы можем использовать теорему косинусов.

Теорема косинусов

Теорема косинусов гласит, что в треугольнике со сторонами a, b и c и углом α против стороны c, косинус угла α можно выразить следующим образом:

cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)

В нашем случае, диагональ грани BA1 является стороной треугольника, диагональ куба AC1 - другой стороной, и скрещивающаяся диагональ будет третьей стороной.

Мы знаем, что длина диагонали грани BA1 равна 9.899 см, а длина скрещивающейся диагонали (диагонали куба AC1) равна диагонали куба, которая также равна 7 см.

Подставим эти значения в формулу теоремы косинусов:

cos(α) = (7^2 + 7^2 - 9.899^2) / (2 * 7 * 7)

Вычислив это выражение, мы получим значение косинуса угла α. Далее, мы сможем найти угол α, применяя обратную функцию косинуса (арккосинус) к полученному значению косинуса.

Таким образом, мы сможем найти угол между диагональю грани BA1 и скрещивающейся диагональю куба AC1.