Question

Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна 12.Расстояние от центра описанной около этого треугольника окружности до этого катета равна 2,5. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности

Answer 1

средняя линяя равна 5/2 ,значит второй катет равен 5, гипотенуза 13, а радиус вписанной окружности (5 + 12 - 13)/2 = 2

Answer 2

Центр описанной окружности  лежит на середине гипотенузы, расстояние 2,5 будет паралелльно другому катету, аи будет средней линией для нашего треугольника. 

Обозначим буквенно: треугольник АВС, АВ =12, О- центр опис. окр., ОМ=2,5. Тогда  АМ=МВ=6, По теореме Пифагора: АО^2=  36+6,25=42,25, АО=ОС=6,5, гипотенуза АС=13. По теореме Пифагора найдём катет ВС^2=169-144=25, ВС=5. Радиус вписаной оружности в прямоугольный треугольник равен r=(АВ+ВС-АС)/2=2

Answer 3

Дано: Длина одного из катетов прямоугольного треугольника = 12 Расстояние от центра описанной около этого треугольника окружности до этого катета = 2.5

Решение: Пусть треугольник ABC – прямоугольный треугольник, где AB – гипотенуза, BC и AC – катеты. Пусть O – центр окружности, описанной около треугольника ABC, I – центр вписанной в треугольник окружности.

Известно, что расстояние от центра окружности до катета BC равно 2.5. Также известно, что центр окружности лежит на перпендикуляре, опущенном из вершины прямого угла (вершины C) к гипотенузе AB. Пусть точка пересечения этого перпендикуляра с гипотенузой обозначается как D.

Так как треугольник ABC – прямоугольный, то точка D является серединой гипотенузы AB. Поэтому AD = BD = AB/2 = 12/2 = 6.

Также известно, что расстояние от центра окружности до катета BC равно 2.5. Поэтому OD = 2.5.

Треугольник ODB – прямоугольный, так как OD – радиус окружности, а DB – катет прямоугольного треугольника. Мы знаем OD и DB, поэтому можем найти OB, применив теорему Пифагора: OB^2 = OD^2 + DB^2 OB^2 = 2.5^2 + 6^2 OB^2 = 6.25 + 36 OB^2 = 42.25 OB = √42.25 OB ≈ 6.5

Теперь найдем радиус вписанной в треугольник окружности. Радиус вписанной окружности равен половине периметра треугольника, деленной на полупериметр треугольника: r = (BC + AC - AB)/2

Так как треугольник ABC – прямоугольный, то BC и AC – катеты, равные 12. Подставим значения в формулу:

r = (12 + 12 - AB)/2 r = (24 - 12)/2 r = 12/2 r = 6

Ответ: Радиус вписанной в треугольник окружности равен 6.