Question

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 3, а радиус окружности, которая касается гипотенузы и продолжений катетов за вершины острых углов, равен 18. Найти больший катет треугольника.

Answer 1

R=3, R=ОК=ОМ=18.

СК=СМ=R=18.
АК=АР и ВР=ВМ как касательные к окружности, проведённые из одной точки.
Р(АВС)=АР+ВР+АВ+АС=АК+ВМ+АС+ВС=СК+СМ=2R=2·18=36.
P=a+b+с ⇒ a+b=P-c=36-c,
r=(a+b-c)/2 ⇒a+b=2r-c=6+c.
36-c=6+c,
2c=30,
c=15.
a+b=36-c=36-15=21 ⇒ b=21-a.
По теореме Пифагора a²+b²=c²,
a²+(21-a)²=15²,
а²+441-42а+а²=225,
2а²-42а+216=0, решаем квадратное уравнение, получаем:
а1=9, а2=12,
b1=21-9=12, b2=21-12=9.
Ответ: больший катет равен 12.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством треугольников, вписанных в окружности.

Пусть больший катет треугольника равен x, а меньший катет равен y.

Так как радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 3, то мы можем записать следующее уравнение: x + y = 3 + 3 = 6 (1)

Также, так как радиус окружности, которая касается гипотенузы и продолжений катетов за вершины острых углов, равен 18, то мы можем записать следующее уравнение: x + y = 18 (2)

Теперь мы можем решить систему уравнений (1) и (2): x + y = 6 (1) x + y = 18 (2)

Вычитая уравнение (1) из уравнения (2), получим: 18 - 6 = x + y - (x + y) 12 = 0

Полученное уравнение 12 = 0 является противоречием, что означает, что такой треугольник не существует.

Следовательно, решение данной задачи невозможно.