Question

Окружность, центр которой принадлежит стороне AB треугольника ABC, проходит через точку B, касается стороны AC в точке C и пересекает сторону AB в точке D. Найдите больший угол треугольника ABC (в градусах), если AD:DB=1:2 ( Ответ 120) Нужен рисунок

Answer 1

Окружность, центр которой принадлежит стороне AB треугольника ABC, проходит через точку B, касается стороны AC в точке C и пересекает сторону AB в точке D. Найдите больший угол треугольника ABC (в градусах), если AD:DB=1:2 
-----------
Центр окружности лежит на АВ, следовательно, АD- диаметр. 
Проведем  радиус ОС . 
Т.к. С - точка касания, ОС ⊥ АС.
Треугольник АОС - прямоугольный. 
ОС=ОВ=ОD=r,  АD:DB=1:2 ⇒
AD=DO=OB=r 
В прямоугольном треугольнике АСD гипотенуза
AO=2 r=2 OC ⇒ 
sin∠OАС= OС:АО=1/2  ⇒ 
Угол ОАС=30º,⇒ 
угол АОС=60º, а смежный с ним угол ВОС=180º-60º-120º
Острые углы равнобедренного треугольника ВОС равны (180º-120º):2=30º⇒ 
Больший угол АСВ треугольника АВС равен 
∠АСВ=∠АСО+∠ВСО=90º+30º=120º

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте представим себе ситуацию на рисунке.

Пусть O - центр окружности, которая проходит через точку B, касается стороны AC в точке C и пересекает сторону AB в точке D.

Так как AD:DB=1:2, то точка D делит сторону AB на отрезки AD и DB в соотношении 1:2.

Теперь давайте обратим внимание на то, что точка C - точка касания окружности и стороны AC, поэтому угол BAC является углом касательной и радиуса, и, следовательно, он равен углу в центре, образованному дугой BC.

Таким образом, угол BAC равен половине угла в центре, образованному дугой BC. Поскольку угол в центре равен удвоенному углу на окружности, то угол BAC равен углу BOC.

Теперь обратимся к отношению сторон AD и DB. Поскольку AD:DB=1:2, то угол ADB в 3 раза больше угла BDA.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что угол BOC (или BAC) равен 3 раза углу BDA.

Итак, чтобы найти больший угол треугольника ABC, мы должны найти угол BDA и умножить его на 3.

Надеюсь, это поможет вам решить задачу!