Question

Дан правильный десятиугольник А1А2..А10, точка О является его центром. Докажите, что треугольники А1ОА4 и А4ОА6 имеют равные площади

Answer 1

∠A₁OA₄ = 3/10 * 360 = 108°
∠A₄OA₆ = 2/10 * 360 = 72°
sin 108° = sin 72°
OA₁ = OA₄ = OA₆ = R
Поэтому площади обеих треугольников, рассчитываемые по формуле
S = 1/2 * a * b * sin Ф,
будут одинаковыми.

Answer 2

Для доказательства того, что треугольники А1ОА4 и А4ОА6 имеют равные площади, мы можем использовать свойства центра десятиугольника и свойства треугольников.

Свойство центра десятиугольника

По условию задачи, точка О является центром правильного десятиугольника А1А2..А10. Это означает, что все стороны десятиугольника равны между собой, а все углы десятиугольника равны.

Свойства треугольника

1. Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу: S = (1/2) * a * h, где S - площадь треугольника, a - длина основания треугольника, h - высота треугольника, опущенная на основание. 2. Если два треугольника имеют одинаковую высоту и одинаковое основание, то их площади будут равны.

Доказательство

1. По свойству центра десятиугольника, стороны А1О и А4О равны между собой, так как О является центром десятиугольника. 2. По свойству треугольника, площадь треугольника А1ОА4 равна (1/2) * А1О * h1, где h1 - высота треугольника А1ОА4, опущенная на основание А1О. 3. По свойству центра десятиугольника, стороны А4О и А6О равны между собой. 4. По свойству треугольника, площадь треугольника А4ОА6 равна (1/2) * А4О * h2, где h2 - высота треугольника А4ОА6, опущенная на основание А4О. 5. Так как О является центром десятиугольника, то А1О и А4О равны между собой, а значит, А1О и А4О можно считать одинаковыми основаниями для треугольников А1ОА4 и А4ОА6. 6. По свойству треугольника, если два треугольника имеют одинаковые основания и одинаковую высоту, то их площади равны. Таким образом, площади треугольников А1ОА4 и А4ОА6 равны между собой.

Таким образом, мы доказали, что треугольники А1ОА4 и А4ОА6 имеют равные площади.