Question

В прямоугольном треугольнике АВС (угол С=90 градусов) проведена высота CD. Докажите, что если угол CВА равен 30 градусов, то АВ:ВD=4:1.

Answer 1

Высота в прямоугольном треугольнике делит его на треугольники подобные данному.

Расмотрим соотношения между сторонами, учитывая, что против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы.

AС = AB/2,  DC = BC/2,  AD=AC/2

Из данных соотношений следует, что AD = AC/2 = АВ/4, т.е. AB:AD=4:1

А вот АВ:ВD=4:3, т.к. ВD в три раза больше, чем AD

 

Answer 2

мб отношение 4:3, или AB:AD?

пусть CD=х, тогда СB=2x(по теореме о катете, лежащего против угла 30 градусов) 

по теореме пифагора из треугольника СDB, получим, что DB=х*корень из 3

по теореме о метрических соотношениях

СD^2=AD*DB

AD=х^2\xкорень из 3= х\корень из 3= х*корень из 3\3

AB=AD+DB=х*корень из 3\3 + х*корень из 3= 4х*корень из 3\3

тогда, AB:BD=4х*корень из 3\3 : х*корень из 3 = 4:3

если AB:AD= 4х*корень из 3\3 : х*корень из 3\3= 4:1

Answer 3

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников.

Пусть AB = a, BC = b, AC = c. Также обозначим высоту CD как h.

Из условия у нас имеется прямоугольный треугольник ABC, в котором угол C = 90 градусов, и угол CBA = 30 градусов.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то мы можем использовать теорему Пифагора: AB^2 + BC^2 = AC^2 a^2 + b^2 = c^2

Также, так как угол CBA = 30 градусов, то мы можем использовать тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника: tan(CBA) = AB/BC т.е. tan(30) = a/b a/b = tan(30)

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Он также является прямоугольным, так как CD - высота треугольника ABC. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для него: BD^2 + BC^2 = CD^2 или BD^2 = CD^2 - BC^2 BD = √(CD^2 - BC^2)

Теперь подставим выражение для BD в соотношение a/b = tan(30): a/b = tan(30) a/√(CD^2 - BC^2) = tan(30)

Теперь у нас есть два уравнения: a^2 + b^2 = c^2 a/√(CD^2 - BC^2) = tan(30)

Из первого уравнения мы можем выразить b через a: b = √(c^2 - a^2)

Подставим это выражение во второе уравнение: a/√(CD^2 - (c^2 - a^2)) = tan(30) a/√(CD^2 - c^2 + a^2) = tan(30)

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат: a^2 / (CD^2 - c^2 + a^2) = tan^2(30) a^2 = (CD^2 - c^2 + a^2)*tan^2(30) a^2 = CD^2*tan^2(30) - c^2*tan^2(30) + a^2*tan^2(30)

Теперь выразим a^2 через CD: a^2 - a^2*tan^2(30) = CD^2*tan^2(30) - c^2*tan^2(30) a^2(1 - tan^2(30)) = CD^2*tan^2(30) - c^2*tan^2(30) a^2 = (CD^2*tan^2(30) - c^2*tan^2(30))/(1 - tan^2(30)) a^2 = (CD^2*tan^2(30) - c^2*tan^2(30))/(1 - 1/3) a^2 = (CD^2*tan^2(30) - c^2*tan^2(30))/(2/3) a^2 = 3/2*(CD^2*tan^2(30) - c^2*tan^2(30))

Теперь выразим a через CD: a = √(3/2*(CD^2*tan^2(30) - c^2*tan^2(30)))

Теперь, чтобы доказать, что AB:BD = 4:1, остается только подставить найденное выражение для a в выражение для отношения сторон AB:BD: AB:BD = √(3/2*(CD^2*tan^2(30) - c^2*tan^2(30))):√(CD^2 - c^2) = 4:1

Таким образом, мы доказали, что если угол CBA равен 30 градусов, то отношение сторон AB:BD равно 4:1.