Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка К – центр грани DCC1D1. Вычислите угол между прямыми: а) A1B1 и BK; б) AC и A1K. С объяснением пожалуйста!)

Answer 1

Task/26537618
--------------------
см приложение

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо вычислить координаты точки K, а затем найти углы между прямыми.

1. Найдем координаты точки K: Точка K - центр грани DCC1D1, поэтому ее координаты будут равны среднему арифметическому координат вершин D, C, C1 и D1. Координаты вершины D: (1, 0, 0) Координаты вершины C: (0, 0, 0) Координаты вершины C1: (0, 1, 0) Координаты вершины D1: (1, 1, 0)

Тогда координаты точки K будут: x = (1 + 0 + 0 + 1) / 4 = 0.5 y = (0 + 0 + 1 + 1) / 4 = 0.5 z = (0 + 0 + 0 + 0) / 4 = 0

Итак, координаты точки K: (0.5, 0.5, 0)

2. Теперь найдем углы между прямыми: а) Угол между прямыми A1B1 и BK: Прямая A1B1 проходит через точки A1(1, 1, 1) и B1(1, 0, 1). Вектор направления прямой A1B1 будет равен: a = B1 - A1 = (1-1, 0-1, 1-1) = (0, -1, 0)

Прямая BK проходит через точки B1(1, 0, 1) и K(0.5, 0.5, 0). Найдем вектор направления прямой BK: b = K - B1 = (0.5-1, 0.5-0, 0-1) = (-0.5, 0.5, -1)

Теперь найдем угол между этими векторами: cos(угол) = (a * b) / (|a| * |b|) где * - скалярное произведение, |a| - длина вектора a

a * b = 0 * (-0.5) + (-1) * 0.5 + 0 * (-1) = 0 |a| = √(0^2 + (-1)^2 + 0^2) = 1 |b| = √((-0.5)^2 + 0.5^2 + (-1)^2) = √(0.25 + 0.25 + 1) = √1.5

cos(угол) = 0 / (1 * √1.5) = 0

Угол между прямыми A1B1 и BK равен 90 градусов.

б) Угол между прямыми AC и A1K: Прямая AC проходит через точки A(1, 1, 0) и C(0, 1, 0). Вектор направления прямой AC будет равен: c = C - A = (0-1, 1-1, 0-0) = (-1, 0, 0)

Прямая A1K проходит через точки A1(1, 1, 1) и K(0.5, 0.5, 0). Найдем вектор направления прямой A1K: d = K - A1 = (0.5-1, 0.5-1, 0-1) = (-0.5, -0.5, -1)

Теперь найдем угол между этими векторами: cos(угол) = (c * d) / (|c| * |d|) где * - скалярное произведение, |c| - длина вектора c

c * d = (-1) * (-0.5) + 0 * (-0.5) + 0 * (-1) = 0.5 |c| = √((-1)^2 + 0^2 + 0^2) = 1 |d| = √((-0.5)^2 + (-0.5)^2 + (-1)^2) = √(0.25 + 0.25 + 1) = √1.5

cos(угол) = 0.5 / (1 * √1.5) = 0.5 / √1.5

Угол между прямыми AC и A1K равен arccos(0.5 / √1.5) ≈ 56.3 градусов.

Итак, угол между прямыми A1B1 и BK равен 90 градусов, а угол между прямыми AC и A1K примерно 56.3 градусов.