Question

В правильной четырехугольной пирамиде МАВСД боковое ребро равно 8 см и наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов . Найти: 1) S боковой поверхности 2) V пирамиды 3) угол между противоположными боковыми гранями 4) V описанного около пирамиды шара 5) угол между боковым ребром АМ и плоскостью ДМС

Answer 1

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Основание данной пирамиды - квадрат. 

Её высота МО- катет, противолежащий углу 60º в прямоугольного треугольника с гипотенузой 8 см.

МО=МВ•sin60º=4√3

 ОВ противолежит углу 30º

ОВ= МВ•sin30º=4 см

ОВ- половина диагонали квадрата АВСД

ОВ=ОА. 

Стороны основания равны АВ=ВО:sin 45º=4√2

Апофема МН по т.Пифагора из ∆ МНВ

МН=√(МС²-НВ²)=√56

 

1) 

Площадь боковой поверхности

S(бок)=4•МН•HВ=4•2•√112=32√7 см²

2) 

Объем пирамиды:

V=S•H:3

S (осн)=АВ² =(4√2)² =32 см² 

V=(32•4√3):3=128:√3 см³ 

3) 

Угол между противоположными боковыми гранями - это двугранный угол между плоскостями, содержащими эти грани. 

Он измеряется величиной угла, образованного прямыми, по которым грани пересекаются перпендикулярной им плоскостью КМН  т.е. величине угла между МК и МН

Величину∠КМН  можно найти по т.косинусов,  по формуле приведения двойного  угла  или  из отношения высоты НР треугольника КМН к апофеме МН. ( длина НР пригодится и дальше). 

НР=2S∆ КМН:МК

2S ∆ КМН=МО•КН=4√3•4√2=16√6

НР=16√6:√56=(8√21):7

sin ∠НМР=(8√21):(7•√56)=(√24):7≈ 0,699854....

Это синус угла ≈ 44,4º  или 44º24

4) 

Объем описанного около пирамиды шара 

Около данной пирамиды можно описать шар, так как  около ее основания - квадрата - можно описать окружность (свойство описанного шара).  

Центр его лежит в точке пересечения высот (срединных перпендикуляров) правильного ∆ ВМД

V=4πR³:3

Радиус описанного шара равен радиусу описанной вокруг правильного ∆ ДМВ  окружности. (углы при ДВ=60º)

2R=МВ:sin60º

R=8/√3

V=π•4•(8/√3)³:3

V=π•2048/3•3√3=π•(2048√3):27= 131,379π или при π=3,14 ≈  412,74

5) 

угол между боковым ребром АМ и плоскостью ДМС

На рисунке пирамида для наглядности «уложена» на боковую грань ДМС. 

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Проекция АМ на плоскость ДМС - это отрезок, который соединяет т.М с основание перпендикуляра из т.А на данную плоскость. 

АВ || СД. ⇒АВ  параллельна плоскости ДМС,⇒

все точки АВ находятся на равном расстоянии от  плоскости ДМС,

Искомый угол -∠ АМТ 

  Перпендикуляр АТ из точки  А наклонной АМ на  плоскость ДМС  параллелен и равен перпендикуляру из любой другой точки  АВ на ту же плоскость. ⇒

АТ=НР=(8√21):7 

sin∠ АМТ=АТ:АМ={(8√21):7}:8=(√21):7≈0,65465...

∠ АМТ= ≈40º54’ ≈ 41º

Answer 2

1) S боковой поверхности: Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды используем формулу: S = (периметр основания * полусумма всех высот боковых граней) где периметр основания равен периметру четырехугольника МАВС, а полусумма всех высот боковых граней равна половине периметра основания умноженной на тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания.

Для начала найдем периметр основания: Периметр = MA + AV + VS + SD = 8 + 8 + 8 + 8 = 32 см

Теперь найдем полусумму всех высот боковых граней: h = (8/2) * tan(60°) = 4 * √3

Теперь можем найти площадь боковой поверхности: S = 32 * 4 * √3 = 128√3 см²

2) V пирамиды: Объем пирамиды можно найти по формуле: V = (S основания * h) / 3 где S основания - площадь основания, h - высота пирамиды.

Так как у нас четырехугольная пирамида, то площадь основания равна площади четырехугольника МАВС, которую можно найти по формуле:

S основания = (периметр основания * apothem) / 2 где apothem - радиус вписанной окружности в основание пирамиды.

Для нахождения apothem воспользуемся формулой: apothem = side / (2 * tan(180° / количество сторон основания)) apothem = 8 / (2 * tan(180° / 4)) = 8 / (2 * tan(45°)) = 8 / (2 * 1) = 4 см

Теперь можем найти площадь основания: S основания = (32 * 4) / 2 = 64 см²

Теперь найдем высоту пирамиды, используя теорему Пифагора: h = √(AD² - apothem²) = √(8² - 4²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3 см

Теперь можем найти объем пирамиды: V = (64 * 4√3) / 3 = 256√3 / 3 см³

3) Угол между противоположными боковыми гранями: Угол между противоположными боковыми гранями можно найти, используя теорему косинусов: cos(угол) = (AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(угол)) / (2 * AB * AC) где AB и AC - боковые ребра пирамиды. cos(угол) = (8² + 8² - 2 * 8 * 8 * cos(60°)) / (2 * 8 * 8) = (64 + 64 - 64) / 128 = 64 / 128 = 0.5 угол = arccos(0.5) = 60°

Таким образом, угол между противоположными боковыми гранями равен 60°.

4) V описанного около пирамиды шара: Радиус описанной сферы равен половине длины диагонали основания пирамиды. Для четырехугольника диагональ можно найти, используя теорему Пифагора: d = √(AB² + AC²) = √(8² + 8²) = √(64 + 64) = √128 = 8√2 см

Радиус описанной сферы равен: r = d / 2 = 8√2 / 2 = 4√2 см

Теперь можем найти объем описанной сферы: V = (4/3) * π * r³ = (4/3) * π * (4√2)³ = (4/3) * π * 128√2 см³

5) Угол между боковым ребром АМ и плоскостью ДМС: Этот угол можно найти, используя теорему синусов: sin(угол) = (полусумма высот боковых граней) / AM sin(угол) = (4 * √3) / 8 = √3 / 2 угол = arcsin(√3 / 2) = 60°

Таким образом, угол между боковым ребром АМ и плоскостью ДМС равен 60°.