Question

В четырёхугольниках АВСД и А1В1С1Д1, диагонали пересекаются в точках О и О1, причём АО=ОС, А1О1=О1С1, угол АОД = углу А1О1Д1, Угол АДО = углу А1Д1О1 и угол АВО= углу А1В1О1. Докажите, что треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1

Answer 1

Доказательство с чертежом

Answer 2

∠АОВ=∠А1О1В1 как смежные к равным углам АОД и А1О1Д1.
Треугольники АОВ и А1О1В1 подобны т.к. ∠АОВ=∠А1О1В1 и ∠АВО=∠А1В1О1, значит АВ:А1В1=АО:А1О1=k. и ∠ВАО=∠В1А1О1.
АС=2·АО, А1А1=2·А1О1, значит АС:А1С1=АО:А1О1=k.
В треугольника АВС и А1В1С1 АВ:А1В1=АС:А1С1 и ∠ВАС=∠В1А1С1, значит они подобны по двум сторонам и углу между ними.
Доказано.

PS  Зачем здесь указано равенство углов АДО и А1Д1О1 - непонятно. Просто лишнее условие.

Answer 3

Для доказательства подобия треугольников АВС и А1В1С1, мы должны показать, что их соответствующие углы равны, а отношения длин соответствующих сторон равны.

Равенство углов

Нам дано, что угол АОД равен углу А1О1Д1, угол АДО равен углу А1Д1О1 и угол АВО равен углу А1В1О1. Из этих равенств можно сделать вывод, что соответствующие углы треугольников АВО и А1В1О1 равны.

Равенство отношений сторон

Также нам дано, что АО = ОС и А1О1 = О1С1. Так как треугольники АОС и А1О1С1 имеют две пары равных сторон, они являются равнобедренными треугольниками.

Из свойств равнобедренных треугольников следует, что соответствующие им углы при основании также равны. Это означает, что угол ОАС равен углу О1А1С1.

Теперь мы можем рассмотреть отношение длин сторон треугольников АВС и А1В1С1.

Мы знаем, что АО = ОС и А1О1 = О1С1, а также угол ОАС равен углу О1А1С1. Отсюда следует, что треугольники АВС и А1В1С1 являются равнобедренными и имеют равные соответствующие углы при основании.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1, так как их соответствующие углы равны и отношения длин соответствующих сторон равны.