Question

Докажите что прямоугольный треугольник проекции катетов на гипотенузе пропорциональны квадратов катетов.

Answer 1

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Пусть СК перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу. Тогда верны равенства:
1. CB^2=AB*BK,

2.AC^2=AB*AK.

Разделим эти равенства 1. и 2.

CB^2/AC^2=AB*BK/AB*AK, где АК и ВК -проекции катетов. Сократим на АВ и получаем:

BK/AK=CB^2/AC^2

Answer 2

Для начала, давайте обозначим прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC - катеты, а AC - гипотенуза. Пусть D и E - проекции катетов AB и BC соответственно на гипотенузу AC.

Теперь мы можем записать следующие пропорции:

1) В прямоугольном треугольнике ABC: AB^2 + BC^2 = AC^2 (теорема Пифагора)

2) В прямоугольном треугольнике AED: AD^2 + DE^2 = AE^2 (теорема Пифагора)

3) В прямоугольном треугольнике BEC: BE^2 + EC^2 = BC^2 (теорема Пифагора)

Теперь давайте рассмотрим отношения проекций катетов на гипотенузу:

AD/AB = AD/AC * AC/AB DE/BC = DE/AC * AC/BC

Теперь подставим выражения для AD и DE в эти пропорции:

AD/AB = (AD/AC) * (AC/AB) = (AD/AE) * (AC/AB) DE/BC = (DE/AC) * (AC/BC) = (DE/AE) * (AC/BC)

Теперь умножим эти два уравнения:

(AD/AB) * (DE/BC) = ((AD/AE) * (AC/AB)) * ((DE/AE) * (AC/BC))

Теперь подставим известные значения:

(AD/AB) * (DE/BC) = (AD^2/AE^2) * (DE^2/AE^2) = (AD^2 + DE^2) / AE^2

Но мы знаем из выражения (2), что AD^2 + DE^2 = AE^2, поэтому:

(AD/AB) * (DE/BC) = AE^2 / AE^2 = 1

Таким образом, мы доказали, что проекции катетов на гипотенузу пропорциональны квадратам катетов.