Question

В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A и B равны. Докажите , что 2AC больше AB.

Answer 1

   Положим что углы внешние равны $a$, тогда внутренние 
 $180-a;180-a;2a-180$ 
    Треугольник равнобедренный 
По теореме косинусов    $AB=\sqrt{AC^2(2-2cos(2a-180)}=AC*2*cosa\\\\ 2AC>AC*2*cosa$ 
 
 так как $-1 \leq cosa \leq 1$ , $0<cosa<\pi$      
 тогда  $2AC>AB$

Answer 2

В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A и B равны. Докажите , что 2AC больше AB.
Если внешние углы при вершинах равны, то и внутренние углы, как смежные с внешними, равны. 
Следовательно,  углы А и В равны и треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ. 
Одно из основных свойств треугольника гласит :
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности. 
Так как АС=ВС, 2 АС=АС+ВС.
 АС+ВС больше стороны АВ, иначе треугольник не мог бы получиться - стороны просто не сошлись бы и не образовали третий угол. 
Следовательно,  2 АС больше АВ, что и требовалось доказать. 

Answer 3

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой косинусов.

Пусть угол при вершине A равен α, а угол при вершине B равен β. Тогда внешний угол при вершине A равен 180° - α, а внешний угол при вершине B равен 180° - β.

Согласно теореме косинусов, для треугольника ABC справедливо следующее утверждение:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(α)

Также для треугольника ABC справедливо следующее утверждение:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(β)

Так как внешние углы при вершинах A и B равны, то cos(α) = cos(β), следовательно, 2 * AB * BC * cos(α) = 2 * AB * BC * cos(β).

Таким образом, мы получаем, что AC^2 - AB^2 = BC^2 - 2 * AB * BC * cos(α) - BC^2 + 2 * AB * BC * cos(β) = 2 * AB * BC * (cos(β) - cos(α)) = 2 * AB * BC * (cos(α) - cos(β)) = 2 * AB * BC * sin(α) = 2 * AB * BC * sin(β)

Так как sin(α) и sin(β) меньше или равны 1, то 2 * AB * BC * sin(α) меньше или равно 2 * AB * BC, следовательно, AC^2 - AB^2 меньше или равно 2 * AB * BC.

Таким образом, мы получаем, что AC^2 - AB^2 меньше или равно 2 * AB * BC, что равносильно тому, что (AC + AB)(AC - AB) меньше или равно 2 * AB * BC.

Так как треугольник ABC неравенство треугольника выполнено, то AC + AB больше BC, следовательно, 2AC больше AB.