Question

В трапеции ABCD основания AD = 4, BC = 2, боковая сторона AB = √7, ∠ACD = 60◦ . Точка K принадлежит прямой AD, прямая CK делит трапецию на части, площади которых относятся как 1:3 (вершина D принадлежит меньшей части). Найдите CK.

Answer 1

△KCD= SABCD/4
SABCD= (AD+BC)*h/2
AD=2BC
SABCD= 3BC*h/2
△KCD= 3BC*h/8
△KCD= KD*h/2
3BC*h/8 = KD*h/2 <=> KD= 3BC/4
BC= 2
KD= 1,5
AK= 4-1,5 = 2,5
-----
СM - медиана △AСD: AM= 1/2AD =BC
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
СМ=AB
Медиана по трем сторонам: Mc= √(2a^2 + 2b^2 - c^2)/2
CM= √(2AC^2 + 2CD^2 - AD^2)/2
√7= √(2AC^2 + 2CD^2 - 4^2)/2 <=> 7= (AC^2 + CD^2)/2 - 4 <=> AC^2 + CD^2 =22
AD^2= AC^2 + CD^2 -2AC*CD*cos(ACD)
16= AC^2 + CD^2 - AC*CD
16= 22 - AC*CD <=> AC*CD =6 <=> AC= 6/CD
(6/CD)^2 +CD^2 =22 <=> (36 +CD^4 -22CD^2)/CD^2 <=> CD^4 -22CD^2 +36 =0
CD^2= 11+-√85
--
C₁D= 4,4966
C₂D= 1,3343
--
AC₁= 1,3343
AC₂= 4,4966
-----
△AC₁D=△AC₂D (по трем сторонам)
∠C₁DA=∠DAC₂=α
∠AC₁D=∠AC₂D=60
--
sin(60)/4 = sin(α)/AC₁
sin(α) = 0,2165*1,3343 = 0,2889
cos(α)= √[1-0,2889^2] = 0,9573
--
1) △C₁DK: C₁D= 4,4966; KD= 1,5
C₁K^2= C₁D^2 + KD^2 - 2*C₁D*KD*cos(α)
CK^2= 20,2194 + 2,25 - 8,6091*1,5 = 9,5556
C₁K= 3,0912
--
2) △AC₂K: AC₂= 4,4966; AK= 2,5
C₂K^2= AC₂^2 + AK^2 - 2*AC₂*AK*cos(α)
CK^2= 20,2194 + 6,25 - 8,6091*2,5 = 4,9466
C₂K= 2,2241

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойства трапеции и теорему угловой суммы треугольника.

Построение

Давайте начнем с построения трапеции ABCD:

1. Нарисуем отрезок AD длины 4. 2. Из точки A отложим отрезок AB длины √7. 3. Из точки D проведем прямую CK, которая делит трапецию на две части в соотношении 1:3, где вершина D принадлежит меньшей части.

Теперь у нас есть трапеция ABCD с основаниями AD и BC, боковой стороной AB и углом ACD, равным 60 градусов.

Решение

Чтобы найти длину CK, нам нужно использовать свойства трапеции и теорему угловой суммы треугольника.

1. Найдем угол ABC. Так как AB является боковой стороной трапеции, мы можем использовать теорему косинусов в треугольнике ABC:

cos(ABC) = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 * AC * BC)

Заменим известные значения:

cos(ABC) = (4^2 + 2^2 - (√7)^2) / (2 * 4 * 2)

cos(ABC) = (16 + 4 - 7) / 16

cos(ABC) = 13 / 16

Используя калькулятор, найдем значение угла ABC:

ABC = arccos(13 / 16) ≈ 35.42 градусов

2. Найдем угол BCD. Так как ∠ACD = 60 градусов, мы можем найти угол BCD, используя теорему угловой суммы треугольника:

BCD = 180 - ∠ACD = 180 - 60 = 120 градусов

3. Теперь, зная угол ABC и угол BCD, мы можем найти угол ACK. Угол ACK является внешним углом треугольника BCD:

ACK = BCD - ABC = 120 - 35.42 ≈ 84.58 градусов

4. Найдем угол ADC. Угол ADC является суммой ∠ACD и ∠ACK:

ADC = ∠ACD + ∠ACK = 60 + 84.58 ≈ 144.58 градусов

5. Теперь, зная угол ADC и длину AD, мы можем найти длину CK, используя теорему синусов в треугольнике ADC:

sin(ADC) = CK / AD

Заменим известные значения:

sin(144.58) = CK / 4

CK = sin(144.58) * 4

Используя калькулятор, найдем значение CK:

CK ≈ 3.81

Таким образом, длина CK примерно равна 3.81.