Question

Даны точки А (2;-1;0) и В (-4;2;2) а) найдите координаты середины отрезка АВ б) точка В - середина отрезка АС. найдите координаты точки С. в) найдите длину отрезка АВ

Answer 1

а) Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.

А (2; -1; 0), В (-4; 2; 2)

Обозначим середину отрезка АВ буковой К

$K (\frac{2+(-4)}{2};\frac{-1+2}{2};\frac{0+2}{2})$

К (-1; 0,5; 1)

б) Нужно найти координаты точки С, если точка В является серединой отрезка АС. Координаты точек А и В известны. Координаты точки С обозначим (x; y; z). И используем формулу для нахождения координат середины отрезка. Находим координаты середины отрезка АС.

$B(\frac{2+x}{2};\frac{-1+y}{2};\frac{0+z}{2})$

Координаты точки В известны. Приравняем их и получим три уравнения, решая которые найдем координаты точки С.

$\frac{2+x}{2}=-4|*2\\2+x=-8\\ x=-8-2\\x=-10\\\\\frac{-1+y}{2}=2|*2\\ -1+y=4\\y=4+1\\y=5\\\\\frac{0+z}{2}=2|*2\\ z=4$

C (-10; 5; 4)

в) Длина отрезка можно вычислить так: квадратный корень из суммы квадратов разностей соответствующих координат концов отрезка.

$AB=\sqrt{(-4-2)^2+(2-(-1))^2+(2-0)^2}=\sqrt{36+9+4}=\sqrt{49}=7$

АВ=7

Answer 2

Чтобы найти координаты середины отрезка AB, мы можем применить формулу для нахождения средней точки двух точек в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

Середина отрезка AB = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, (z₁ + z₂) / 2)

Где (x₁, y₁, z₁) - координаты точки A, а (x₂, y₂, z₂) - координаты точки B.

a) Найдем координаты середины отрезка AB:

Координаты точки A: (2, -1, 0) Координаты точки B: (-4, 2, 2)

Подставим значения в формулу:

Середина отрезка AB = ((2 + (-4)) / 2, (-1 + 2) / 2, (0 + 2) / 2) = (-2 / 2, 1 / 2, 2 / 2) = (-1, 0.5, 1)

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны (-1, 0.5, 1).

b) Чтобы найти координаты точки C, которая является серединой отрезка АС, мы можем использовать ту же формулу, но вместо точки B будем использовать точку C.

Поскольку точка B является серединой отрезка АС, мы можем использовать найденные ранее координаты середины AB и координаты точки A, чтобы найти координаты точки C.

Координаты середины AB: (-1, 0.5, 1) Координаты точки A: (2, -1, 0)

Подставим значения в формулу:

Середина отрезка АС = ((2 + (-1)) / 2, (-1 + 0.5) / 2, (0 + 1) / 2) = (1 / 2, -0.5 / 2, 1 / 2) = (0.5, -0.25, 0.5)

Таким образом, координаты точки C равны (0.5, -0.25, 0.5).

в) Чтобы найти длину отрезка AB, мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

Длина отрезка AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

Где (x₁, y₁, z₁) - координаты точки A, а (x₂, y₂, z₂) - координаты точки B.

Координаты точки A: (2, -1, 0) Координаты точки B: (-4, 2, 2)

Подставим значения в формулу:

Длина отрезка AB = √((-4 - 2)² + (2 - (-1))² + (2 - 0)²) = √((-6)² + (3)² + (2)²) = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7

Таким образом, длина отрезка AB равна 7.