Question

Треугольник АВС- верный со стороной а, R и r радиусы описанной и вписанной окружности. Вычислите R через a

Answer 1

Смотрим рисунок:
Пусть $l$ - медиана, биссектриса, высота и серединный перпендикуляр (в равностороннем Δ-ке они совпадают между собой). О - точка пересечения трёх таких линий, как $l$ (остальные две на чертеже я не стал чертить). О - центр вписанной и описанной окружностей.
Находим длину $l$ через $a$:

$l= \sqrt{a^2-( \frac{a}{2})^2}= \sqrt{a^2- \frac{a^2}{4}}= \sqrt{ \frac{4a^2-a^2}{4}}= \sqrt{ \frac{3a^2}{4}}= \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Далее вспоминаем свойство медиан треугольника (любого):
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Таким образом:

$R= \frac{2}{3}l= \frac{2}{3}\cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}=\frac{a \sqrt{3}}{3}$

...Ну и как "Лучший ответ" не забудь отметить, ОК?!.. ;)