Question

ПРОШУ, ОБЪЯСНИТЕ! В пирамиде DABC ребра DA,DB и DC взаимно перпендикулярны и равны a. Используя векторы, найдите угол между плоскостями DAB и ABC.

Answer 1

Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения.
В нашем случае искомый угол - это угол между высотой СН треугольника (плоскости) АВС и высотой DH треугольника (плоскости) DAB.
Поместим начало координат в точку D(0;0;0). Тогда имеем точки:
А(0;а;0), В(0;0;а), С(а;0;0).
Найдем координаты точки Н, как середины отрезка АВ:
Н(0;а/2;а/2).
Тогда вектор DH{0;а/2;а/2}, его модуль |DH|=√(2a²/4)=a√2/2,
вектор СН{-a;a/2;a/2}, его модуль |HC|=√(6a²/4)=a√6/2.
Cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(|DH|*|HC|) или
Cosα=(0+а²/4+а²/4)/(а²√12/4)=(2а²*4)/(4*а²√12)=2/√12=√3/3.
Ответ: Искомый угол равен α=arccos√3/3 или α≈54,74°.