Question

На рисунке 155 угол ABC=50, угол BAC=40, угол AM1M=90, AM1=BA1, A1A=C1C. Докажите, что DC1=CC1, если точки A1 и C1 - середины BC и AB соответственно.

Answer 1

Всё очень просто .Рассмотрим 2 параллельные прямые AD и BC  и секущею AB.Рассмотрим 2 треугольника :∧$C_1CB$ и ∧$ADC_1$.
∠$BC_1C$=∠DC_1A
Так как они вертикальные 
Стороны $C_1B=AC_1$ (по условию)
∠$DAC_1$=∠$CBC_1$ ,так как если продлить секущую то ∠$DAC_1$=тому углу ,который равен вертикальный угол ∠$CBC_1$
А теперь равенство треугольников
Воспользуемся вторым признаком равенством треугольником 
Треугольники равны ,если у них равны две стороны и угол между ними.
Стороны $BC_1=AC_1$,∠$BC_1C$=∠$AC_1D$,∠$DAC_1$=∠$C_1BC$
Вот мы и доказали что треугольники равны ,а значит стороны тоже равны .Доказано!