Question

Две стороны параллелограмма равны 13 см и 14 см, а одна из диагоналей равна 15 см. Найдите площадь треугольника, отсекаемого от параллелограмма биссектрисой его угла.

Answer 1

Об этом треугольнике - со сторонами 13,14,15 я уже много раз тут писал. 

Если провести высоту в этом треугольнике к стороне 14, то  она разрежет исходный треугольник на два Пифагоровых треугольника - со сторонами 5,12,13 и 9,12,15. Два катета 5 и 9 в сумме составляют сторону 14, а 12 - общий катет, и есть высота. 

Синус угла между сторонами 13 и 14 равен 12/13.

Теперь перейдем к параллелограмму.

У него 2 угла - острый и тупой, в сумме 180 градусов. Поэтому синусы их равны (это важнейший момент в решении) 12/13.

Биссектриса острого угла пересечет сторону 14, разбив её на отрезки 13 и 1, то есть отсечет от параллелограмма равнобедренный треугольник с боковой стороной 13 и тупым углом при вершине, синус которого равен 12/13.

Биссектриса тупого угла, что легко обнаружить, тоже отсесекает равнобедренный треугольник с боковой стороной 13, и острым углом между боковыми сторонами, синус которого тоже равен 12/13.

То, что отсекаемые треугольники равнобедренные, следует из равенства углов при основаниях, поскольку один из углов является внутренним накрест лежащим углом к половине угла, из которого выходит биссектриса, а второй угол при основании - как раз и есть вторая его половина :).  

Получается, что в обоих случаях площадь отсекаемого треугольника равна

S = (1/2)*13^2*(12/13) = 78.

Answer 2

Пусть дан параллелограмм АВСD, у которого АК - биссектриса угла А.Найдем площадь треугольника АВС по формуле Герона S=84 см^2. Но с другой стороны S тр=1/2*a*b*sinB, то sinB=2*S/a*b=12/13. Значит площадь треугольника ABK=1/2*AB*BK=78 см^2