Question

Помогите решить задачу по геометрии : в правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 5 см, а высота 7 см. а) найдите площадь поверхности пирамиды б) с помощью микрокалькулятора вычислите углы наклона боковых ребер и боковых граней к плоскости основания.

Answer 1

Найдём проекцию ребра на плоскость основания пирамиды. Она равна половине диагонали квадрата, лежащего в основании. ПрРеб = 5 * cos 45 = 5/sqrt(2)

Заодно найдём проекцию апофемы (пригодится дальше), она равна половине стороны квадрата: ПрАп = 5/2 = 2,5.

Теперь найдём ребро L по теореме Пифагора: его квадрат равен сумме квадратов высоты пирамиды и проекции ребра: L = sqrt ( 7^2 + (5/sqrt(2))^2) = sqrt ( 49 + 12.5) = sqrt ( 49 + 12.5) = sqrt ( 61.5) = 7.842

Угол  а между ребром и плоскостью основания измеряется линейным углом между ребром и проекцией ребра на плоскость основания: соs a = ПрРеб/L = (5/sqrt(2))/sqrt ( 61.5) = 3,536/ 7.842 = 0,4508.  соs a = 63гр.

Апофема А пирамиды (высота треугольника, представляющего собой боковую грань, опущенная из вершины на сторону основания) равна: А = sqrt ( 7^2 + 2,5^2) = sqrt ( 49 + 6,25) = sqrt ( 55,25) = 7,433

Угол  в между плоскостью грани и плоскостью основания измеряется линейным углом между апофемой и проекцией апофемы на плоскость основания: соs в = ПрАп/А = 2,5/sqrt ( 55,25) = 2,5/ 7,433 = 0,3363.  соs в = 70гр.

Площадь поверхности пирамиды складывается из площади 4-х граней и основания: Sосн = a^2 = 5^2 = 25. Sгр = 0,5 А * a = 0.5 * 7,433 * 5 = 18,5825

S пир = Sосн + 4Sгр = 25 + 4 * 18,5825 = 25 + 74,33 = 99,33 кв.см

Ответ:S пир = 99,33 кв.см. Угол наклона ребра к плоскости основания примерно равен 63гр., а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен примерно 70гр.