Question

ABCD прямоугольник , АВ = 3 , точка К принадлежит АВ , точка М принадлежит CD ,угол КАС =30 градусам , АКСМ ромб , Найти АК

Answer 1

Рассмотрим ромб АКСМ. По свойствам ромба АК=КС=СМ=АМ. Угол ∠КАМ=∠КАС *2=60°, т.к. АС - диагональ и биссектриса (по свойствам ромба). Противолежащие углы ромба равны, отсюда ∠КАМ=∠КСМ=60°.
Рассмотрим треугольник АКС. ∠КАС=∠КСА=30° (т.к. по свойствам ромба АК=КС - треугольник равнобедренный с основанием АС), а угол ∠АКС=180-30-30=120°.
Рассмотрим треугольник ВКС. Сумма смежных углов равна 180°., отсюда угол ∠ВКС=180-120=60°. Угол ∠ВСК=90°-∠КСМ=90-60=30°. По свойству прямоугольного треугольника, сторона, лежащая против угла в 30° равна половине гипотенузы, т.е. ВК=КС/2, а т.к. АКСМ ромб, то ВК=КС/2=АК/2.
По условию АВ=3, отсюда АК+ВК=3. а ВК=АК/2 получаем уравнение: АК+АК/2=3, т.е. 1,5*АК=3, откуда АК=3/1,5=2