Question

Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника, касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 см и 12 см.

Answer 1

1) находим гипотенузу по т. Пифагора. Она равна 13.
2) смотрим файл с обозначениями
3) треугольники АВС и ОМС  прямоугольные, подобны.
значит,составляем отношение
(13-R)/R=13/5
R=65/18

Answer 2

Дано: ΔАВС -прямоугольный, окружность с центром О, АС=5, ВС=12.
Решение:
АО=ОК=R - радиусы окружности
проведем еще один радиус R в точку касания Н.
следует знать теорему: "Радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен самой касательной."
То есть ∠ОНВ=90°
по теореме Пифагора найдем гипотенузу АВ
АВ=√(АС²+ВС²)=√(5²+12²)=13 
Если АВ=13 и АО=R, то ОВ=АВ-АО=13-R
рассмотрим ΔАВС и ΔВОН
∠АСВ=∠ОНВ=90°
∠АВС -общий, следовательно треугольники подобны по двум углам.
Если треугольники подобны, то можно составить пропорцию

$\frac{AC}{OH} = \frac{AB}{OB} \\ \\ \frac{5}{R} = \frac{13}{13-R } \\ \\ 5(13-R)=13R \\ 65-5R=13R \\ 18R=65 \\ R= \frac{65}{18} =3 \frac{11}{18}$

$OTBET: 3 \frac{11}{18}$