Question

Доказать,что если высота и медиана треугольника,проведенные из вершины угла треугольника,делят этот угол на три равные части,то треугольник прямоугольный.

Answer 1

Пусть в треугольнике ABC проведены высота CH и медиана CM, при этом углы ACH, HCM, MCB равны (см. рисунок). В треугольнике ACM высота CH является также биссектрисой. Тогда треугольник равнобедренный с основанием AM. Обозначим сторону AB за 4x, тогда AM=MB=2x. Так как ACM равнобедренный, то CH также является медианой, тогда AH=HM=x.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. Биссектриса CM делит его сторону BH  вотношении 1:2. Тогда стороны CH и CB тоже относятся как 1:2 (MH/MB=CH/CB). То есть CH/BC=1/2. Если катет прямоугольного треугольника в 2 раза меньше гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам. Тогда угол HBC равен 30 градусам, а угол HCB равен 60 градусам. Если 2/3 угла C исходного треугольника равны 60 градусам, то угол C равен 90 градусам. Тогда треугольник прямоугольный, что и требовалось доказать.