Question

помогите решить пожалуйста: точки К,М,Р,Т не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые КМ и РТ пересекаться? ответ обосновать

Answer 1

Пусть есть 2 пересекающиеся прямые, КМ и РТ. Точку их пересечения обозначим О. По трем точкам - КРО или МТО можно построить только одну плоскость. Поскольку точки К и М лежат на одной прямой, а Р и Т тоже на одной прямой, то обе этих прямых целиком принадлежат этой плоскости.
Значит, плоскость КРО совпадает с плоскостью МТО, то есть обе прямые лежат в одной плоскости.
Значит, все 4 точки лежат в одной плоскости, а это противоречит условию.
Вывод: Если 4 точки не лежат в одной плоскости, то прямые, их соединяющие попарно, скрещивающиеся.

Answer 2

Да, прямые KM и RT могут пересекаться, даже если точки K, M, R и T не лежат в одной плоскости. В геометрии существует понятие скрещивающихся прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей в одной плоскости с исходными точками.

Для лучшего понимания давайте рассмотрим трехмерное пространство. Представим, что точки K и M лежат на одной прямой, а точки R и T лежат на другой прямой, которая не лежит в той же плоскости, что и первая.

Тогда прямые KM и RT могут быть представлены в виде векторных уравнений:

- Прямая KM: \( \vec{KM} = \vec{KO} + t \cdot \vec{MK} \), где \( \vec{KO} \) - вектор, направленный от начала координат O к точке K, а \( \vec{MK} \) - вектор, направленный от точки M к точке K.

- Прямая RT: \( \vec{RT} = \vec{RO} + s \cdot \vec{TR} \), где \( \vec{RO} \) - вектор, направленный от начала координат O к точке R, а \( \vec{TR} \) - вектор, направленный от точки T к точке R.

Если система уравнений, описывающая прямые KM и RT, имеет решение (т.е., существуют такие значения параметров t и s, что векторы KM и RT пересекаются в одной точке), то прямые пересекаются, несмотря на то, что точки K, M, R и T не лежат в одной плоскости.