Question

В прямоугольном треугольнике высота из вершины прямого угла пересекает биссектрису AL в точке К. При этом AK=9, а KL=6. Площадь треугольника равна: Выберите один ответ: 60 корней из 3 72 20 120 36

Answer 1

Введем обозначения: ABC - исходный треугольник с прямым углом C, высотой CN и биссектрисой AL пересекающимися в точке K.

Нетрудно видеть, что прямоугольные треугольники ACL и ANK подобны. И коэффициент подобия по отношению их гипотенуз |AL|/|AK| = (9+6)/9 = 15/9 = 5/3. 

Стало быть и их катеты |AC|/|AN| = 5/3. Но прямоугольный треугольник ACN (в котором эти стороны гипотенуза и катет) подобен всему треугольнику ABC в котором стало быть стороны |AB|, |AC| и |CB|относятся как 5:3:4 (4 = корень(5*5-3*3).

Достаточно узнать длину |AC| чтобы найти всю площадь. S = |AC|*|CB|/2 = |AC|*(4/3)*|AC|/2 = (2/3)*|AC|^2

Но |AC| равна 15*cos(A/2), где по формуле косинуса половинного угла cos(A/2) = корень((1+cos(A))/2) = корень((1+3/5)/2) = корень(4/5).

То есть S = (2/3)*(15*корень(4/5))^2 = (2/3)*15*15*(4/5) = 2*4*15 = 120 - такое число есть среди ответов.

Answer 2

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол BAC является прямым углом. Пусть высота из вершины прямого угла пересекает биссектрису AL в точке K.

Из условия известно, что AK = 9 и KL = 6.

Так как треугольник ABC прямоугольный, мы можем использовать схему биссектрисы. По теореме о биссектрисе:

\[\frac{BL}{BC} = \frac{AL}{AC}\]

Так как AC - гипотенуза, и угол BAC прямой, то \[BL = \frac{BC \cdot AL}{AC}\]

Теперь, мы знаем, что \[BL + LK = BK\]

Подставим выражение для BL и известные значения:

\[\frac{BC \cdot AL}{AC} + 6 = BK\]

Подставим также известные значения AK = 9 и KL = 6:

\[\frac{BC \cdot 9}{AC} + 6 = BK\]

Также из теоремы Пифагора, имеем:

\[AC^2 = BC^2 + AB^2\]

Теперь, мы можем использовать известные значения AK и KL:

\[AC^2 = (9 + 6)^2 + 9^2\]

Решим это уравнение и найдем значения BC и AC.

После того, как найдены BC и AC, мы можем использовать их в предыдущем уравнении для нахождения BK:

\[\frac{BC \cdot 9}{AC} + 6 = BK\]

Теперь, площадь треугольника ABC можно найти как:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BL\]

После решения этих уравнений мы можем определить площадь треугольника и выбрать правильный ответ из предложенных вариантов.