Question

Найдите площадь ромба по меньшей диагонали к и острому углу альфа ответ: [ 0,5к^2ctg a/2 ]. решение-?

Answer 1

ABCD-ромб,BC=k,<A=a
AC∩BD=0
BO=k/2
<BAO=a/2
<BAO=90-a/2
BO/sin<BAO=AO/sin<ABO
AO=BO*sin<ABO/sin<BAO=k*sin(90-a/2)/(2sina/2)=k*cosa/2/(2sina/2)=
=1/2*kctga/2
AC=2AO=kctga/2
S=AC*BD/2=1/2*k*kctga/2=1/2*k²ctga/2

Answer 2

Для нахождения площади ромба по меньшей диагонали \( к \) и острому углу \( \alpha \), давайте воспользуемся следующими свойствами ромба:

1. Площадь ромба можно выразить как половина произведения длин его двух диагоналей (\( D_1 \) и \( D_2 \)): \[ S = \frac{1}{2} \cdot D_1 \cdot D_2 \]

2. Связь диагоналей ромба с его сторонами и углом: \[ D_1 = 2k \cdot \sin{\frac{\alpha}{2}} \] \[ D_2 = 2k \cdot \cos{\frac{\alpha}{2}} \]

где \( k \) - половина меньшей диагонали.

Теперь подставим эти выражения для диагоналей в формулу для площади ромба:

\[ \begin{split} S & = \frac{1}{2} \cdot (2k \cdot \sin{\frac{\alpha}{2}}) \cdot (2k \cdot \cos{\frac{\alpha}{2}}) \\ & = \frac{1}{2} \cdot 4k^2 \cdot \sin{\frac{\alpha}{2}} \cdot \cos{\frac{\alpha}{2}} \\ & = 2k^2 \cdot \sin{\alpha} \\ & = k^2 \cdot 2 \cdot \sin{\alpha} \\ & = k^2 \cdot 2 \cdot \sqrt{1 - \cos^2{\alpha}} \quad \text{(используем тригонометрическую тождества)} \\ & = k^2 \cdot 2 \cdot \sqrt{1 - \left(\cos{\frac{\alpha}{2}}\right)^2} \quad \text{(половинный угол)} \\ & = k^2 \cdot 2 \cdot \sqrt{1 - \frac{\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}{\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}} \quad \text{(тангенс половинного угла)} \\ & = k^2 \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{\sin^2{\frac{\alpha}{2}} - \cos^2{\frac{\alpha}{2}}}{\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}} \\ & = k^2 \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}{\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}} \quad \text{(вынесем \(\sin^2{\frac{\alpha}{2}}\) из под корня)} \\ & = k^2 \cdot 2 \cdot 1 \quad \text{(упростим)} \\ & = 2k^2 \end{split} \]

Таким образом, площадь ромба по меньшей диагонали \( к \) и острому углу \( \alpha \) равна \( 2k^2 \).