Question

Отрезок ВД–диаметр окружности с центром О. Хорда АС делит пополан радиус ОВ и пенпендикулярна к нему. Найдите углы четырехугольника АВСД и градусные меры дуг АВ, ВС, СД, АД.

Answer 1

Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°

Уголы ВАД и ВСД =90, так как опираются на диаметр.

SinОАМ = ОМ/ОА = 0,5 ( отношение противолежащего катета к гипотенузе) значит угол ОАМ=30. Угол АОМ равен 90°-30° = 60°. Столько же и потому же равен угол СОМ. Итак, угол АОС = 120°. Значит столько же и потому же равен угол АВС = 120. Тогда угол АДС = 60° ( так как 360°-180°-120°)Градусные меры дуг равны удвоенным градусным мерам вписанных углов, на них опирающихся значит дуга АВ =  дуге ВС 60°, дуга АД = дуге ДС = 120°

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу подробно.

Пусть \(O\) - центр окружности, \(ABCD\) - четырехугольник, а \(AC\) - хорда, пересекающая радиус \(OV\) в точке \(E\) (так что \(OE = EC\)).

Мы знаем, что хорда, проходящая через центр окружности, делит ее на две равные дуги. Таким образом, дуга \(BC\) равна дуге \(AD\), и дуга \(AB\) равна дуге \(CD\).

Обозначим угол \(\angle AOB\) как \(x\). Так как треугольник \(OEB\) является равнобедренным (так как \(OE = EB\)), угол \(\angle OBE\) также равен \(x\).

Теперь рассмотрим треугольник \(AEO\). В нем угол \(\angle AEO = 180^\circ - \angle AOE - \angle OEB\). Поскольку угол \(\angle AOE\) - это угол наклона хорды к радиусу, он равен половине угла центральной дуги \(AC\). Так что \(\angle AOE = \frac{x}{2}\). Угол \(\angle OEB\) мы уже знаем, это также \(x\).

Таким образом, \(\angle AEO = 180^\circ - \frac{x}{2} - x\).

Теперь давайте рассмотрим угол \(\angle ACD\). Этот угол равен половине угла центральной дуги \(AC\), так что \(\angle ACD = \frac{x}{2}\).

Теперь мы можем найти углы четырехугольника \(ABCD\):

\(\angle A = \angle AEO + \angle ACD = 180^\circ - \frac{x}{2} - x + \frac{x}{2} = 180^\circ - x\)

\(\angle B = \angle AOE = \frac{x}{2}\)

\(\angle C = \angle OEB = x\)

\(\angle D = \angle ACD = \frac{x}{2}\)

Таким образом, углы четырехугольника \(ABCD\) равны \(180^\circ - x, \frac{x}{2}, x, \frac{x}{2}\).

Теперь рассмотрим дуговые меры:

\(\angle AVB = 2x\) (центральный угол, соответствующий дуге \(AB\))

\(\angle BVC = \angle BOC = 2x\) (центральный угол, соответствующий дуге \(BC\))

\(\angle CVD = 2x\) (центральный угол, соответствующий дуге \(CD\))

\(\angle DVA = \angle DOA = 2x\) (центральный угол, соответствующий дуге \(AD\))

Таким образом, дуговые меры дуг \(AB, BC, CD, AD\) равны \(2x, 2x, 2x, 2x\) соответственно.