Question

Умаляю помогите) 1. найти точку Q симметричную точке Р (-5.5 ; 12.5) относительно прямой 2х-3у-3=0 2. через точку (2.5; 1.5) провести прямую отсекающую равные отрезки на осях координат 3. лежат ли на одной прямой три точки А(-3; -4), В(2 ;-1), С(0; 20)

Answer 1

1. Найти точку Q симметричную точке Р (-5.5 ; 12.5) относительно прямой 2х-3у-3=0.
Уравнение прямой выразим относительно у:
у = (2/3)х - 1.
Точка Q, симметричная точке Р (-5.5 ; 12.5) относительно прямой 2х-3у-3=0, лежит на прямой, перпендикулярной заданной.
Уравнение перпендикулярной прямой имеет угловой коэффициент:
к₂ = -1 / к₁ = -3/2. Так как точка Р принадлежит этой прямой. то её координаты соответствуют уравнению прямой:
12,5 = (-3/2)*(-5,5) + в. Отсюда находим параметр в:
в =12,5 -  (-3/2)*(-5,5) = 12,5 - 8,25 = 4,25.
Получаем уравнение перпендикулярной прямой: у = (-3/2)х + 4,25.
Находим координаты точки К пересечения взаимно перпендикулярных прямых, приравнивая правые их части:
(2/3)х - 1 =  (-3/2)х + 4,25
(13/6)х = 5,25
хK = 5,25 / (13/6) = (21/4) / (13/6) = 63/26 = 2,423077,
уK = (2/3)*2,42307 - 1 = 0,615385.
Разность координат между точками Р и К равна:
Δх = 2,423077 - (-5,5) = 7.9230769
Δу = 0,615385 -12,5 = -11.8846.
Координаты симметричной точки Q на такую же величину отличаются от координат точки К:
хQ = 2,42307 + 7.923076 = 10.346154,
yQ = 0,61538 + -11.8846 =   -11.269231.

2) Через точку (2.5; 1.5) провести прямую отсекающую равные отрезки на осях координат.
Коэффициент "к" такой прямой равен 1 при х = у.
Уравнение этой прямой, проходящей через точку М(2,5;1,5) имеет вид: у = -х +(2,5+1,5) = -х + 4.

3. Лежат ли на одной прямой три точки А(-3; -4), В(2 ;-1), С(0; 20)?
Уравнение прямой, проходящей через заданные точки имеет вид:
$\frac{x-x_{1} }{x_{2} -x _{1} } = \frac{y-y _{1} }{y _{2} -y _{1} }$
Если три точки лежат на одной прямой, то отношение Δу/Δх для двух промежутков должно быть равным:
Δу(ВА) = -1-(-4) = 3
Δх(ВА) = 2-(-3) = 5             к = 3/5.
Δу(СВ) =20-(-1) = 21
Δх(СВ) = 0-2       = -2         к = 21/-2 - не совпадают. 

Answer 2

1. Найдем точку Q, симметричную точке P(-5.5; 12.5) относительно прямой 2x - 3y - 3 = 0.

Для нахождения симметричной точки Q относительно данной прямой, мы можем использовать формулу для нахождения симметричной точки относительно прямой с уравнением Ax + By + C = 0:

Для данной прямой 2x - 3y - 3 = 0: A = 2 B = -3 C = -3

Теперь, если точка P(-5.5; 12.5) симметрична относительно прямой, то отрезок между P и Q будет перпендикулярен этой прямой и иметь равные длины от P и Q до прямой.

Мы можем использовать следующие формулы для нахождения координат точки Q:

1. Найдем уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой: Уравнение данной прямой: 2x - 3y - 3 = 0 Уравнение перпендикулярной прямой будет иметь вид: -3x - 2y + D = 0, где D - неизвестный коэффициент.

2. Теперь найдем точку пересечения этой перпендикулярной прямой и отрезка, соединяющего P и Q.

Уравнение отрезка PP': x - x₁ = k(x₂ - x₁), y - y₁ = k(y₂ - y₁),

где (x₁, y₁) - координаты точки P, (x₂, y₂) - координаты точки Q, и k - отношение длины отрезка PP' к длине отрезка PQ.

3. Так как отрезок PQ перпендикулярен прямой -3x - 2y + D = 0, то проекция отрезка PQ на эту прямую будет перпендикулярной к самому отрезку PQ. Используем это свойство для нахождения k:

-3x - 2y + D = 0 - уравнение перпендикулярной прямой (x - (-5.5)) = k(x - x₁), (y - 12.5) = k(y - y₁),

Подставляем координаты точки P(-5.5; 12.5): (x + 5.5) = k(x + 5.5), (y - 12.5) = k(y - 12.5).

4. Теперь найдем k:

(x + 5.5) = k(x + 5.5), (y - 12.5) = k(y - 12.5).

Поскольку отрезок PP' имеет равные длины от P и Q до прямой, то k = 1.

5. Теперь, найдя k = 1, мы можем найти координаты точки Q:

(x + 5.5) = (x + 5.5), (y - 12.5) = (y - 12.5).

Значит, точка Q(-5.5, 12.5) симметрична относительно прямой 2x - 3y - 3 = 0.

2. Через точку (2.5; 1.5) проведем прямую, отсекающую равные отрезки на осях координат.

Чтобы провести прямую, отсекающую равные отрезки на осях координат, мы можем воспользоваться следующим методом:

- Найдем две точки на прямой, которые находятся на одинаковом расстоянии от начала координат. Эти точки будут симметричны относительно начала координат.

- Зная координаты этих двух точек, мы можем построить уравнение прямой, проходящей через них.

- Для нахождения точек, используем тот факт, что равное расстояние от начала координат до точки (x, y) можно выразить как √(x² + y²).

Поэтому, мы ищем точки (x, y), которые удовлетворяют уравнению: √(x² + y²) = √((2.5)² + (1.5)²)

Вычисляем правую сторону: √(2.5² + 1.5²) = √(6.25 + 2.25) = √8.5

Теперь у нас есть равенство: √(x² + y²) = √8.5

Чтобы упростить уравнение, возведем обе стороны в квадрат: x² + y² = 8.5

Это уравнение представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом √8.5.

3. Проверим, лежат ли три точки A(-3; -4), B(2; -1) и C(0; 20) на одной прямой.

Для проверки, лежат ли три точки на одной прямой, мы можем использовать определитель матрицы:

Если определитель матрицы, составленной из координат точек, равен нулю, то точки лежат на одной прямой. Матрица будет иметь следующий вид: