Question

Прямоугольные треугольники АВС и АВD имеют общую гипотеузу АВ. Известно, что ВА - биссектриса угла СВD. Докажите, что АВ - биссектриса угла CAD.

Answer 1

Известно, что угол CBD=CBA+DBA, значит угол CBA=DBA.

угол CAB= 90-CBA(по сумме острых углов прямоугольного треугольника)

угол DAB=90-DBA(то же самое)

так так CBA=DBA,

то угол CAB=DAB,

а угол CAD=CAB=DAB,

значит AB-бисскетриса

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой о биссектрисе в треугольнике.

По условию, треугольники АВС и АВD имеют общую гипотенузу АВ. Пусть угол CAB является углом СВА, а угол CAD - углом ДВА.

Так как ВА - биссектриса угла СВD, то согласно теореме о биссектрисе, выполняется равенство:

(СВ / СД) = (ВА / АД)

Также, по условию задачи треугольники АВС и АВD имеют общую гипотенузу АВ, поэтому отношение длин катетов в этих треугольниках равно:

(СВ / СД) = (ВА / АД)

Мы получили, что отношение длин катетов в треугольниках АВС и АВD равно. Это означает, что угол САВ является биссектрисой угла CAD.