Question

Найдите углы между диагоналями параллелограмма, сторона которого равна четверти периметра.

Answer 1

Если  одна сторона параллелограмма равна четверти его периметра, то все 4  стороны равны, а значит этот параллелограмм - ромб (по определению), а по  свойству ромба, его диагонали перпендикулярны, значит ответ:  90 градусов

Answer 2

Пусть сторона параллелограмма равна a. Тогда периметр параллелограмма будет равен 4a.

По свойству параллелограмма, диагонали делят его на два равных треугольника. Поэтому, чтобы найти углы между диагоналями, мы можем рассмотреть только один из этих треугольников.

Обозначим основание треугольника (сторону параллелограмма) как b, а диагональ - как c. Так как сторона параллелограмма равна четверти периметра (a = 4a/4 = b), то b = a, а периметр треугольника будет равен 2b + c = 2a + c.

Из уравнения b = a можно выразить a через b: a = b.

Теперь у нас есть две равные стороны в треугольнике (a и b). Рассмотрим угол между этими сторонами. Обозначим этот угол как α. Используя теорему косинусов для треугольника, мы можем найти косинус этого угла:

cos(α) = (b^2 + a^2 - c^2) / (2ab).

Так как a = b, наше уравнение приводится к:

cos(α) = (b^2 + b^2 - c^2) / (2bb) = (2b^2 - c^2) / (2b^2) = 1 - (c^2)/(2b^2).

Аналогично, можно найти косинус угла, образованного другими двумя сторонами треугольника:

cos(β) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab) = (b^2 + b^2 - c^2) / (2ab) = (2b^2 - c^2) / (2ab) = 1 - (c^2)/(2b^2).

Так как параллелограмм - это выпуклый четырехугольник, сумма всех внутренних углов равна 360 градусов. Следовательно, углы между диагоналями параллелограмма (α и β) удовлетворяют уравнению:

α + β = 360 градусов.

Теперь мы можем подставить выражения для косинусов углов α и β и решить данное уравнение:

(1 - (c^2)/(2b^2)) + (1 - (c^2)/(2b^2)) = 360 градусов.

2 - 2(c^2)/(2b^2) = 360 градусов.

Упрощаем:

1 - (c^2)/(2b^2) = 180 градусов.

Теперь мы можем решить это уравнение относительно угла α или β, используя известные значения b и c для параллелограмма.