Question

Угол между боковой гранью и плоскостью основания правильной четырехугольной пирамиды 30 градусов, а сторона основания равна 6 см. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. Найдите объем пирамиды.

Answer 1

В основании правильной четыреухгольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD,  боковые грани — равные треугольники с общей вершиной S. Высота пирамиды Н опускается в центр пересечения O диагоналей квадрата основания из вершины пирамиды S.
Угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды является углом между высотой h(бок) боковой грани (перпендикуляром SM, опущенным из вершины S пирамиды к основанию AB равнобедренного треугольника боковой грани) и плоскостью основания. 
В прямоугольном треугольнике SOM, SM - гипотенуза, SO=H = катет, противолежащий углу 30 градусов, MO - катет, прилежащий углу 30 градусов. МО = половине стороны квадрата основания пирамиды.
МО = AB/2 = 6/2 = 3 см
Катет, противолежащий углу 30 градусов, равен половине гипотенузы⇒ SM = 2H
по теореме Пифагора:
H² + MO² = (2H)²
H² + 9 = 4H²
3H² = 9
H² = 3
H = √3 см

В прямоугольном треугольнике SOA, боковое ребро пирамиды SA - гипотенуза, SO=H=√3 - катет, противолежащий искомому углу, AO - катет, прилежащий искомому углу. AO= половине диагонали квадрата основания пирамиды.
AO = AB*√2 / 2 = 6 * √2 / 2 = 3√2 см

Тангенс искомого угла - отношение противолежащего катета к прилежащему.
√3 / 3√2 = 1 / √6 ≈ 0.4082, что приблизительно соответствует углу 22°12' (по таблице Брадиса)

Угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды приблизительно равен 22 градуса 12 минут.

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен:
V = 1/3 * H * a²
V = 1/3 * √3 * 6² = 12√3 см²

 

Answer 2

Постановка задачи:

У нас есть правильная четырехугольная пирамида, у которой угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 30 градусов. Сторона основания пирамиды равна 6 см. Нам нужно найти угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды, а также объем пирамиды.

Решение:

Давайте начнем с рассмотрения угла между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические соображения.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания:

Правильная четырехугольная пирамида имеет особенность: каждая боковая грань является равнобедренным треугольником. Поскольку у нас есть равнобедренный треугольник, мы знаем, что основание этого треугольника делит угол между боковой гранью и плоскостью основания пополам.

Таким образом, угол между боковой гранью и плоскостью основания равен половине угла при вершине равнобедренного треугольника, который в данном случае составляет 30 градусов.

Таким образом, угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 30/2 = 15 градусов.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания:

Поскольку пирамида является правильной, угол между боковой гранью и плоскостью основания равен углу при вершине равнобедренного треугольника, который в данном случае равен 15 градусов. Таким образом, угол между боковым ребром и плоскостью основания также равен 15 градусов.

Объем пирамиды:

Чтобы найти объем пирамиды, нам понадобятся соответствующие формулы. Объем пирамиды можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * S * h

где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

В нашем случае, площадь основания пирамиды равна площади равнобедренного треугольника, которую можно вычислить по формуле:

S = (1/2) * a * b * sin(angle)

где a и b - стороны основания треугольника, angle - угол между этими сторонами.

В нашем случае, сторона основания пирамиды равна 6 см, и угол между этими сторонами равен 30 градусов. Подставим эти значения в формулу и вычислим площадь основания:

S = (1/2) * 6 * 6 * sin(30) = 18 * sin(30) = 18 * 0.5 = 9 см^2

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. В правильной пирамиде высота проходит через вершину пирамиды и перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором один катет равен половине стороны основания (3 см) и гипотенуза равна стороне пирамиды (6 см).

Применяя теорему Пифагора, мы можем найти второй катет (высоту пирамиды):

h^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27

h = sqrt(27) = 3 * sqrt(3) см

Теперь мы можем найти объем пирамиды, подставив значения площади основания и высоты в формулу объема:

V = (1/3) * 9 * 3 * sqrt(3) = 3 * sqrt(3) см^3

Таким образом, угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен 15 градусов, а объем пирамиды равен 3 * sqrt(3) см^3.