Question

Треугольник АВС вписан в окружность радиуса 12. Известно, что АВ = 6 и ВС = 4 . Найдите АС

Answer 1

Из В проведем диаметр окружности ВК.   

Угол ВАК=90º - опирается на диаметр. 

Вписанный угол ВСА= углу ВКА - опираются на одну дугу AB.

sin∠ВСА=sin∠BKA=6/24=1/4

Тогда cos∠ВСА=√(1-1/16)=(√15):4

Угол ВСА - острый, поэтому (√15):4 - положительный 

По т.косинусов

АВ²=ВС²+AC² - 2•BC•AC•cos∠ВСА

Для удобства примем АС=х

36=16+х²-8х•(√15):4

20=х² - 2x√15 ⇒

х²- 2x√15 -20=0

D=(-2√15)² - 4•(-20)

D=60+80=140

х=( 2√15±√140):2=√15±√35

Отрицательный корень не подходит ⇒

АС=√15+√35

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о вписанном угле, которая гласит, что угол, поднятый на дуге, равен половине центрального угла, соответствующего той же дуге.

Пусть \( О \) — центр окружности, в которую вписан треугольник \( ABC \). Тогда угол \( BOC \) равен углу \( BAC \). Также, учитывая, что треугольник \( ABC \) — вписанный, угол \( BAC \) равен сумме углов \( BOA \) и \( COA \).

Теперь давайте рассмотрим правильный треугольник \( BOA \), где \( BO \) — радиус окружности, а \( AO \) и \( AB \) равны 12 и 6 соответственно. Тогда, применяя теорему косинусов, мы можем найти длину \( AO \):

\[ AO^2 = BO^2 + AB^2 - 2 \cdot BO \cdot AB \cdot \cos(BOA) \]

\[ AO^2 = 12^2 + 6^2 - 2 \cdot 12 \cdot 6 \cdot \cos(BOA) \]

Теперь у нас есть значение \( AO \). Поскольку треугольник \( AOC \) — равнобедренный (радиус и две стороны треугольника равны), то длина \( AC \) равна \( 2 \cdot AO \):

\[ AC = 2 \cdot AO \]

Таким образом, мы можем найти длину \( AC \).