Question

В треугольнике ABC AC=BC, AB=50 sin A=13/14 найти высоту CH

Answer 1

sinACB = sinBAC = CH/AC = 1/4

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться тремя тригонометрическими функциями: синусом, косинусом и тангенсом.

Дано:

1. Треугольник ABC, в котором AC = BC. 2. AB = 50. 3. sin(A) = 13/14.

Сначала найдем угол A, используя обратную функцию синуса:

\[ A = \arcsin\left(\frac{13}{14}\right) \]

Теперь, используя закон синусов, мы можем найти сторону BC (или AC, так как они равны):

\[ BC = AC = \frac{AB}{\sin(A)} \]

\[ BC = AC = \frac{50}{\sin\left(\arcsin\left(\frac{13}{14}\right)\right)} \]

\[ BC = AC = \frac{50}{\frac{13}{14}} \]

\[ BC = AC = \frac{50 \cdot 14}{13} \]

\[ BC = AC = \frac{700}{13} \]

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника: AB, AC (или BC). Мы можем использовать формулу для площади треугольника через полупериметр (s) и радиус вписанной окружности (r):

\[ s = \frac{AB + AC + BC}{2} \]

\[ s = \frac{50 + \frac{700}{13} + \frac{700}{13}}{2} \]

\[ s = \frac{50 + \frac{1400}{13}}{2} \]

\[ s = \frac{50 \cdot 13 + 1400}{2 \cdot 13} \]

\[ s = \frac{1950 + 1400}{26} \]

\[ s = \frac{3350}{26} \]

Теперь вычислим радиус вписанной окружности:

\[ r = \frac{\text{Площадь}}{s} \]

\[ r = \frac{\text{Площадь}}{\frac{3350}{26}} \]

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

\[ \text{Площадь} = \sqrt{s \cdot (s - AB) \cdot (s - AC) \cdot (s - BC)} \]

Подставим значения:

\[ \text{Площадь} = \sqrt{\frac{3350}{26} \cdot \left(\frac{3350}{26} - 50\right) \cdot \left(\frac{3350}{26} - \frac{700}{13}\right) \cdot \left(\frac{3350}{26} - \frac{700}{13}\right)} \]

\[ \text{Площадь} = \sqrt{\frac{3350}{26} \cdot \left(\frac{3350}{26} - \frac{1300}{26}\right) \cdot \left(\frac{3350}{26} - \frac{1400}{26}\right) \cdot \left(\frac{3350}{26} - \frac{1400}{26}\right)} \]

\[ \text{Площадь} = \sqrt{\frac{3350}{26} \cdot \frac{2050}{26} \cdot \frac{1950}{26} \cdot \frac{1950}{26}} \]

\[ \text{Площадь} = \sqrt{\frac{3350 \cdot 2050 \cdot 1950 \cdot 1950}{26^4}} \]

Теперь подставим найденные значения в формулу для радиуса:

\[ r = \frac{\sqrt{\frac{3350 \cdot 2050 \cdot 1950 \cdot 1950}{26^4}}}{\frac{3350}{26}} \]

\[ r = \frac{\sqrt{3350 \cdot 2050 \cdot 1950 \cdot 1950}}{26^3} \]

\[ r = \frac{\sqrt{16,305,187,500,000}}{17,576} \]

\[ r = \frac{4,041,240.704}{17,576} \]

\[ r \approx 230.097 \]

Теперь у нас есть радиус вписанной окружности. Наконец, мы можем использовать формулу для высоты треугольника, связанную с радиусом вписанной окружности:

\[ h = \frac{2 \cdot \text{Площадь}}{AB} \]

\[ h = \frac{2 \cdot \frac{3350}{26} \cdot \frac{230.097}{2}}{50} \]

\[ h = \frac{3350 \cdot 230.097}{26 \cdot 50} \]

\[ h = \frac{771,673.95}{1,300} \]

\[ h \approx 594.36 \]

Таким образом, высота треугольника CH составляет приблизительно 594.36.