Question

В четырехугольник ABCDвписана окружность AB=49 CD=47 найти периметр четырехугольника

Answer 1

т.к. сумма противоположных сторон описанного четырехугольника равны, то АВ+СD=AD+BC следовательно P=2(AB+CD)=96*2=192

Answer 2

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, значит, у него есть вписанный угол. Из этого следует, что сумма противоположных углов равна 180 градусам.

Пусть угол ACD равен x градусам, тогда угол ABC равен (180 - x) градусам, так как они в сумме дают 180 градусов.

Углы ACD и ABC, как окружностные, равны половине дуг, которые они соответственно охватывают. Значит, их дуги равны (180 - x) и x градусам.

Пусть радиус окружности равен r. Тогда с помощью формулы длины дуги можно записать следующее:

длина дуги AC = r * (180 - x) * π / 180, длина дуги AB = r * x * π / 180.

По условию задачи известны длины сторон четырехугольника AB и CD - 49 и 47 соответственно. Можно записать уравнения для периметра:

AB + BC + CD + DA = 49 + BC + 47 + DA = 96 + BC + DA.

Также из условия задачи следует, что длины дуги AB равны длине дуги CD:

r * x * π / 180 = r * (180 - x) * π / 180.

Сократив π / 180, получим:

x = 180 - x.

Решая это уравнение, находим x = 90 градусам.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. В нем угол ABC равен (180 - x) = 90 градусам, а углы BAC и BCA равны половине этого угла, то есть 45 градусам. Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, угол BAC также равен 45 градусов.

Таким образом, треугольник ABC - прямоугольный (по построению). Пусть BC = a и AC = b - катеты этого треугольника. Тогда AB = a + b - гипотенуза.

По теореме Пифагора получаем уравнение:

(a + b)^2 = a^2 + b^2,

a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2,

2ab = 0,

ab = 0.

Получается, что один из катетов равен 0. Но это невозможно, так как стороны четырехугольника ABCD существуют и положительны.

Таким образом, в данной задаче нет однозначного решения для периметра четырехугольника ABCD.