Question

Найдите сумму всех трёх внешних углов треугольника по одному при каждой вершине.

Answer 1

 Всего у треугольника  шесть внешних углов, по два при каждой вершине.

Углы каждой пары равны между собой  (как вертикальные):

∠1=∠4,  ∠2=∠5,  ∠3=∠6.

По теореме, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Поэтому: ∠1=∠А+∠С,  ∠2=∠С+∠В, ∠3=∠В+∠А.

Отсюда сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна

∠1+∠2+∠3=∠А+∠С+∠А+∠В+∠В+∠С=2(∠А+∠В+∠С).

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то ∠А+∠В+∠С=180º. Значит, ∠1+∠2+∠3=2∙180º=360º.

Answer 2

Сумма всех трёх внешних углов треугольника всегда равна 360 градусов.

Чтобы понять, как мы пришли к этому результату, рассмотрим треугольник ABC, где A, B и C - вершины треугольника, а a, b и c - стороны.

1. Пусть P, Q и R - внешние углы треугольника.

2. Нарисуем линии AP, BQ и CR, которые пересекутся в точке O (см. рисунок).

A / \ / \ / O \ /_________\ B C

3. Рассмотрим треугольники AOB, BOC и COA.

Внешний угол A треугольника AOB равен сумме угла B треугольника ABC и угла C треугольника ACB: P = B + C

Аналогично, внешние углы треугольников BOC и COA могут быть представлены таким образом: Q = A + C R = A + B

4. Тогда сумма всех внешних углов будет равна: P + Q + R = (B + C) + (A + C) + (A + B) = 2(A + B + C)

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому A + B + C = 180 градусов.

Подставляя это значение в предыдущее уравнение, получаем: P + Q + R = 2(180) = 360 градусов.

Таким образом, сумма всех трёх внешних углов треугольника равна 360 градусов.