Question

Даны полоса с краями х и у, прямая к, принадлежащая полосе. Постройте ромб АВСД так, чтобы его вершины А, В, С принадлежали соответственно прямым х, у, к и угол АВС=60 градусов

Answer 1

Очевидно, все сводится к построению равностороннего треугольника ABC с вершинами на параллельных прямых x, y, k соответственно.
1) Возьмем произвольную точку A на х и построим равносторонний треугольникк AMN так, что M лежит на x, а N на y. Пусть C - точка пересечения MN c прямой k.
2) Проведем серединный перпендикуляр к AC. Пусть он пересечет прямую y в точке B. Тогда построенный треугольник  ABC - равносторонний.
Докажем это.  Опишем вокруг треугольника ACN окружность, которая пересекает прямую $y$ в точке B₁ (потом докажем что B₁ совпадает с B). Тогда ∠AB₁C=∠ANC=60° и ∠B₁CA=∠B₁NA=60° как вписанные. Т.е. треугольник  AB₁C - равносторонний. Но так как существует только один равнобедренный треугольник  с основанием AC и вершиной лежащей на $y$ (это наш построенный ABC), то B₁ совпадает с B.

Answer 2

Для построения ромба АВСД с заданными условиями необходимо выполнить следующие шаги:

1. На полосе с краями х и у построим прямую к, принадлежащую полосе. 2. На прямой к отметим точку А. 3. Построим перпендикуляр к прямой к, проходящий через точку А. Это будет прямая, параллельная прямой у. 4. На прямой, параллельной у, построим точку В. 5. Соединим точки А и В отрезком, это будет одна из диагоналей ромба АВСД. 6. Построим перпендикуляр к отрезку АВ, проходящий через точку А. Это будет прямая, параллельная прямой х. 7. На прямой, параллельной х, построим точку С. 8. Соединим точки А и С отрезком, это будет вторая диагональ ромба АВСД. 9. Найдем точку пересечения диагоналей ромба АВСД и обозначим ее как точку D. 10. Угол АВС будет равен 60 градусам.

Таким образом,