Question

Даю 100 балла Стороны оснований правильной трёхугольной усечённой пирамиды равны 8√3 и 4√3. Площадь сечения, проходящего через боковое ребро пирамиды и середину противоположной стороны основания равно 54. Найдите объем пирамиды.. . Варианты ответов: 168 корней из 3;

Answer 1

АВСА1В1С1 - усечённая пирамида.
Предложенное сечение - трапеция с основаниями, равными высотам, проведённым в основаниях пирамиды. АМ - высота в тр-ке АВС, ВМ=МС. А1М1 - высота в тр-ке А1В1С1 В1М1=С1М1.
Высота в прямоугольном тр-ке вычисляется по ф-ле h=а√3/2
АМ=8√3·√3/2=12.
А1М1=4√3·√3/2=6.
АММ1А1 - трапеция. Её площадь: S=(a+b)h/2=(АМ+А1М1)h/2 ⇒ 
h=2S/(АМ+А1М1)=2·54/(12+6)=6.
Площадь правильного тр-ка: S=a²√3/4.
S1=(8√3)²·√3/4=48√3.
S2=(4√3)²·√3/4=12√3.
Объём усечённой пирамиды: V=h(S1+√(S1·S2)+S2)/3
V=6(48√3+√(48√3·12√3)+12√3)/3=2(48√3+24√3+12√3)=168√3.

Answer 2

Давайте обозначим данную пирамиду. Пусть у неё есть вершина, назовем её \(V\). Пусть \(ABCD\) — основание пирамиды, где \(AB = CD = 8\sqrt{3}\), а \(EF\) — боковое ребро, где \(EF = 4\sqrt{3}\).

Пусть \(M\) — середина отрезка \(AB\), а \(N\) — середина отрезка \(CD\). Пусть \(P\) — точка пересечения бокового ребра \(EF\) и отрезка \(MN\). Сечение \(MN\) с боковым ребром \(EF\) образует треугольник \(MNP\).

Сначала рассмотрим треугольник \(MNP\). Мы знаем, что площадь этого треугольника равна 54.

Теперь давайте найдем площадь треугольника \(MNP\). Эта площадь можно выразить через длины сторон треугольника и его полупериметр. Обозначим длины сторон как \(a\), \(b\), \(c\), а полупериметр как \(s\). Тогда площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

\[S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]

В треугольнике \(MNP\) стороны \(MN\), \(MP\), и \(NP\) равны половинам соответствующих сторон треугольника \(ABCD\). Таким образом, \(MN = \frac{1}{2} \cdot AB\) и \(MP = NP = \frac{1}{2} \cdot CD\).

Полупериметр \(s\) треугольника \(MNP\) равен сумме длин его сторон, деленной на 2:

\[s = \frac{MN + MP + NP}{2}\]

Подставим все известные значения и решим уравнение для \(s\):

\[s = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB + \frac{1}{2} \cdot CD + \frac{1}{2} \cdot CD}{2} = \frac{1}{4}(AB + 2CD)\]

Теперь мы можем выразить площадь треугольника \(MNP\) через \(s\):

\[S = \sqrt{s \cdot \left(s - \frac{1}{2} \cdot AB\right) \cdot \left(s - \frac{1}{2} \cdot CD\right) \cdot \left(s - \frac{1}{2} \cdot CD\right)}\]

Подставим значения \(s\), \(AB\), и \(CD\), а затем найдем значение \(S\).

Теперь у нас есть площадь треугольника \(MNP\). Мы также знаем, что \(S = 54\). Решив уравнение, найдем значение полупериметра \(s\). После этого можно найти длины сторон треугольника \(MNP\).

Теперь мы знаем длины сторон треугольника \(MNP\), и мы можем использовать их, чтобы найти высоту пирамиды относительно основания. Высота пирамиды \(h\) связана с площадью треугольника \(MNP\) следующим образом:

\[S = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot h\]

Подставим известные значения и найдем высоту \(h\).

Теперь мы можем использовать найденные значения для вычисления объема пирамиды. Объем пирамиды можно найти по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\]

Подставим известные значения и найдем объем пирамиды.