Question

Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла,равна половине его гипотенузы.С решением пожалуйста

Answer 1

В треугольнике АВС ∠С=90°.
Опишем около треугольника окружность. Точка О - её центр. 
Угол, вписанный в окружность, равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. 
Угол С опирается на дугу АВ, значит ∪АВ=180°, значит прямая АВ - диаметр окружности.
Точка О лежит на диаметре и делит его пополам. 
Радиусы АО, ВО и СО равны.
Т.к. АО=ВО, то СО - медиана; АВ=АО+ВО=2АО, следовательно СО=АО=АВ/2.
Доказано.

Answer 2

Давайте обозначим прямоугольный треугольник следующим образом:

- Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол B прямой (прямой угол находится напротив гипотенузы). - Пусть AC - гипотенуза, а BC и AB - катеты.

Мы хотим доказать, что медиана, проведенная из вершины прямого угла C, равна половине гипотенузы AC.

Теперь рассмотрим медиану. Медиана из вершины прямого угла C делит гипотенузу AC на две равные части. Обозначим точку деления медианы как D. Таким образом, мы имеем:

\[ AD = DC \]

Также заметим, что угол ADC является прямым углом, так как медиана из вершины прямого угла делит прямой угол пополам.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Он также прямоугольный, так как угол B прямой. Таким образом, у нас есть два прямых угла в треугольнике ABD (угол B и угол ADC).

Теперь рассмотрим треугольник BCD. В нем тоже два прямых угла (угол C и угол ADC).

Теперь обратим внимание на угол BCD. Он равен сумме углов ABD и ADC (по свойству треугольника). Таким образом, у нас есть:

\[ \angle BCD = \angle ABD + \angle ADC \]

Так как угол BCD прямой (угол C в прямоугольном треугольнике), мы можем заменить его на 90 градусов:

\[ 90^\circ = \angle ABD + \angle ADC \]

Теперь заметим, что угол ADC равен 90 градусов (так как медиана делит прямой угол пополам). Таким образом, мы можем заменить \(\angle ADC\) на 90 градусов:

\[ 90^\circ = \angle ABD + 90^\circ \]

Теперь выразим угол ABD через угол B (поскольку угол B равен углу ABD в прямоугольном треугольнике):

\[ 90^\circ = \angle B + 90^\circ \]

Упростим:

\[ \angle B = 0^\circ \]

Это противоречие, так как угол B в прямоугольном треугольнике не может быть равен нулю.

Таким образом, наше предположение о том, что медиана из вершины прямого угла делит гипотенузу пополам, верно. Мы доказали, что медиана, опущенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине его гипотенузы.